Уравнение состояния Ми — Грюнайзена

Уравнение состояния Ми — Грюнайзена — это уравнение, описывающее связь между давлением и объёмом тела при заданной температуре. Это уравнение в том числе используется для определения давления в процессе ударного сжатия твёрдого тела. Названо в честь немецкого физика Эдуарда Грюнайзена. Уравнение состояния Ми — Грюнайзена представляется в следующей^[1] форме:

${\displaystyle p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}(e-e_{0}),}$

где p₀ и e₀ — давление и внутренняя энергия в начальном состоянии, V — объём, p — давление, e — внутренняя энергия, и Γ — коэффициент Грюнайзена, который характеризует термическое давление со стороны колеблющихся атомов. p — полное давление, p₀ — «холодное» давление. Коэффициент Грюнайзена безразмерен. В правой части уравнения Ми — Грюнайзена находится тепловое давление.

Функция Грюнайзена^[2] — мера изменения давления при изменении энергии системы при постоянном объёме. Она определяется по соотношению:

${\displaystyle \Gamma =V\left({\frac {dp}{de}}\right)_{V}.}$

Производная берётся при постоянном объёме.

Уравнение Ми — Грюнайзена предполагает линейную зависимость давления от внутренней энергии. Для определения функции Грюнайзена используются методы статистической физики и предположение о линейности межатомных взаимодействий.

Оно используется для решения определённых термо-механических задач: определении эффектов ударной волны, термическом расширении твёрдых тел, быстром нагревании материалов из-за поглощения ядерного излучения^[3].

Для вывода уравнения Ми — Грюнайзена используется уравнение Ранкина-Гюгонио для сохранения массы, момента и энергии:

${\displaystyle \rho _{0}U_{s}=\rho (U_{s}-U_{p})~~,\quad p_{H}-p_{H0}=\rho _{0}U_{s}U_{p}~~,\quad p_{H}U_{p}=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p}^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right),}$

где ρ₀ — относительная плотность, ρ — плотность после ударного сжатия, p_H — давление Гюгонио, E_H — удельная внутренняя энергия (на единицу массы) Гюгонио, U_s — скорость удара, и U_p — скорость частиц.