Уравнение Бете — Солпитера

Основным методом решения задач со взаимодействием является теория возмущений, однако это далеко не единственный существующий метод решения подобных задач. Существуют так называемые непертурбативные методы, один из которых приводит к уравнению Бете — Солпитера. Рассмотрим систему из двух связанных фермионов. В теории для одночастичной волновой функции ${\displaystyle \psi _{a}}$ (где ${\displaystyle a}$ — спинорный индекс) пропагатор определяется следующим образом:

${\displaystyle \psi (x_{2})=-i\int {d\sigma {(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\!\!/(x_{1})\psi (x_{1})}.}$

В данной формуле используется запись с использованием «перечёркнутых матриц», ${\displaystyle n(x_{1})}$ — 4-х вектор внешней нормали. Интегрирование ведётся по поверхности объёма, включающего в себя событие ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle S_{F}}$. — фейнмановский пропагатор. В случае невзаимодействующих частиц он определяется как решение следующего уравнения^[2]:

${\displaystyle (i\nabla \!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta ^{4}(x'-x).\qquad (1)}$

Аналогично пропагатору для одночастичной волновой функции, можно определить пропагатор для двучастичной волновой функции следующим выражением:

${\displaystyle \psi _{ab}(x_{3},x_{4})=\int {d\sigma {(x_{1})}d\sigma {(x_{2})}S^{ab}{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}.\qquad (2)}$

Здесь ${\displaystyle \psi _{ab}}$ — спинор, обладающий двумя спинорными индексами ${\displaystyle a,b}$. В случае невзаимодействующих частиц, двучастичная волновая функция распадается в произведение одночастичных, а пропагатор в произведение пропагаторов:

${\displaystyle S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2}).}$

Это самый тривиальный случай. Теперь же «включим» электромагнитное взаимодействие между двумя частицами. Следуя идеологии теории возмущений можно получить, по Фейнману, ${\displaystyle S^{ab}}$ в виде:

${\displaystyle S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma .}$

Под ${\displaystyle \Sigma }$ понимается сумма всевозможных диаграмм, получаемых из теории возмущения. Основная идея, приводящая к уравнению, заключается в том, что всю сумму диаграмм мы обозначаем как некоторое ядро ${\displaystyle K}$. Будем называть диаграмму приводимой, если после удаления двух фермионных линий она становится несвязной. Тогда ${\displaystyle K}$ можно представить в виде суммы двух вкладов: вклада приводимых диаграмм и вклада неприводимых диаграмм ${\displaystyle {\overline {K}}}$. Можно показать^[3], что выражение для ${\displaystyle S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})}$ может быть переписано как:

${\displaystyle S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int {d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d^{4}x_{8}\cdot iS_{F}^{a}(x_{3},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{4},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1},x_{2})}.}$

Подставляя это выражение в ${\displaystyle (2)}$ получаем уравнение Бете — Солпитера:

${\displaystyle \psi _{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi _{ab}(x_{1},x_{2})+\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}\cdot iS_{F}^{a}(x_{1},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{2},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad (3)}$

В этом выражении ${\displaystyle \varphi _{ab}}$ — свободная двучастичная волновая функция, то есть волновая функция в отсутствии взаимодействия между частицами. Таким образом, получили интегральное уравнение Фредгольма II рода.

Подействуем теперь на уравнение Бете-Солпитера операторами ${\displaystyle (i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})}$, в силу ${\displaystyle (1)}$ получим следующее выражение:

${\displaystyle (i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=-\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}.}$

Соответственно, вместо интегрального уравнения типа Фредгольма получаетмся интегро-дифференциальное уравнение для двухчастичной волновой функции ${\displaystyle \psi _{ab}(x_{1},x_{2})}$. Ещё одной возможной формой записи уравнения Бете-Солпитера является запись в импульсном пространстве. Определим преобразование Фурье двухчастичной волновой функции ${\displaystyle \psi _{ab}(x_{1},x_{2})}$ следующим образом:

${\displaystyle \chi _{ab}(p_{1},p_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi _{ab}{(x_{1},x_{2})}}.}$

Фурье преобразования самого уравнения Бете-Солпитера запишется следующим образом:

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}.}$

В левой части можно перенести градиенты на экспоненту при помощи интегрирования по частям. Также добавим в правую часть две дельта-функции. Получим:

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\right]\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=}$${\displaystyle =-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\delta ^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta ^{4}(x'_{4}-x_{4}){\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}.}$

Используя импульсное представление дельта-функций со штрихованными переменными, можно переписать ядро ${\displaystyle {\overline {K}}^{ab}}$ в импульсном представлении, а именно:

${\displaystyle {\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})={\frac {1}{(2\pi )^{8}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})}.}$

Используя это, мы получаем уравнение Бете-Солпитера в импульсной форме:

${\displaystyle ({\cancel {p}}_{1}-m_{a})({\cancel {p}}_{2}-m_{b})\chi _{ab}(p_{1},p_{2})=-\int {d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}{\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi _{ab}(p'_{1},p'_{2})}.}$

В связи со своей общностью и тем, что оно применяется во многих разделах теоретической физики, уравнение Бете — Солпитера можно встретить в разных формах. Одной из форм, часто используемой в физике высоких энергий, является:

${\displaystyle \Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\;K(P,p,k)\,S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ — амплитуда Бете — Солпитера, ${\displaystyle K}$ описывает взаимодействие двух частиц, а ${\displaystyle S}$ — их пропагатор.

Так как данное уравнение может быть получено путём отождествления связанных состояний с полюсами S-матрицы, то его можно связать с квантовым описанием процессов рассеяния и функциями Грина.

Даже для простых систем, таких как позитроний, уравнение не может быть решено точно, хотя в принципе оно сформулировано точно. К счастью, классификация состояний может быть проведена без использования точного решения. Если одна частица гораздо массивнее другой, то задача значительно упрощается, и в этом случае решается уравнение Дирака для лёгкой частицы, находящейся, во внешнем потенциале, создаваемом тяжёлой частицей.