Управление по вычисленному моменту

Хотя основы концепции были заложены в 1970-х годах, в частности, в работах Б. Маркевича (1973)^[3], Ричарда Пола (1972)^[4] и Антала Бейчи (1974)^[5], которые создали фундамент для динамического моделирования роботов, ключевым периодом для развития метода стали 1980-е годы.

Основополагающей работой, в которой была чётко сформулирована концепция управления по вычисленному моменту, считается статья «Управление с разрешённым ускорением для механических манипуляторов» (англ. Resolved-Acceleration Control of Mechanical Manipulators), опубликованная в 1980 году Дж. Я. С. Лу, М. У. Уокером и Р. П. Полом. В ней был представлен метод, использующий обратную динамическую модель для расчёта управляющих моментов, необходимых для движения конечного звена робота с заданным ускорением. Публикация в авторитетном журнале IEEE Transactions on Automatic Control способствовала широкому распространению идеи в научном сообществе.

В первой половине 1980-х метод был интегрирован в более общую теорию нелинейного управления и стал рассматриваться как частный случай линеаризации обратной связью (англ. feedback linearization)^[6][7][8]. Работы Е. Фройнда (1982), а также Т. Тарна, А. Бейчи, А. Изидори и Ю. Чена (1984) заложили строгую теоретическую основу, показав, как с помощью нелинейной обратной связи можно компенсировать сложную динамику робота^[9].

К середине и концу 1980-х годов фокус сместился на практическую реализацию и экспериментальную проверку алгоритмов на реальных роботах-манипуляторах. Знаковым событием этого этапа стал выход в 1988 году монографии «Управление роботом-манипулятором на основе модели» (англ. Model-Based Control of a Robot Manipulator) за авторством К. Ана, К. Эткесона и Дж. Холлербаха. В этой работе были обобщены достижения десятилетия и подтверждена практическая применимость метода.

Важным этапом развития метода стал переход к адаптивному управлению. В 1987 году Ж.-Ж. Слотин и В. Ли опубликовали работы («On the Adaptive Control of Robot Manipulators» и «Adaptive robot control: A new perspective»), которые заложили основы адаптивного управления манипуляторами, предложив глобально стабильные контроллеры для работы с неопределённостями модели^[10].

К концу десятилетия управление по вычисленному моменту стало фундаментальным методом и было включено в основные учебники по робототехнике, например, в книгу Джона Крейга «Введение в робототехнику: механика и управление» (англ. Introduction to Robotics: Mechanics and Control, издание 1986 года).

Пусть динамика управляемого робота описывается уравнением:

${\displaystyle \mathbf {M} \left({\vec {\theta }}\right){\ddot {\vec {\theta }}}+\mathbf {C} \left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right){\dot {\vec {\theta }}}+{\vec {\tau }}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)={\vec {\tau }}}$,

где ${\displaystyle {\vec {\theta }}\in \mathbb {R} ^{N}}$ — вектор состояния (суставные переменные), описывающий систему; ${\displaystyle \mathbf {M} \left({\vec {\theta }}\right)}$ — матрица инерции; ${\displaystyle \mathbf {C} \left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right){\dot {\vec {\theta }}}}$ — вектор моментов Кориолиса и центробежных сил; ${\displaystyle {\vec {\tau }}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)}$ — моменты, вызванные действием силы тяжести; ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ — вектор входных моментов в сочленениях.

Предположим, что имеется аппроксимированная модель системы, заданная как ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}\left({\vec {\theta }}\right),{\tilde {\mathbf {C} }}\left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right),{\tilde {\vec {\tau }}}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)}$. Эта модель не обязана быть точной, но должна обеспечивать приближённые равенства ${\displaystyle \mathbf {M} \left({\vec {\theta }}\right)^{-1}{\tilde {\mathbf {M} }}\left({\vec {\theta }}\right)\approx \mathbf {1} }$ и ${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}\left(\mathbf {C} \left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right){\dot {\vec {\theta }}}+{\vec {\tau }}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)\right)\approx \mathbf {M} ^{-1}\left({\tilde {\mathbf {C} }}\left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right){\dot {\vec {\theta }}}+{\tilde {\vec {\tau }}}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)\right)}$.

Пусть задана желаемая траектория ${\displaystyle {\vec {\theta }}_{d}(t)}$, а ошибка относительно текущего состояния ${\displaystyle {\vec {\theta }}(t)}$ определяется как ${\displaystyle {\vec {\theta }}_{e}(t)={\vec {\theta }}_{d}(t)-{\vec {\theta }}(t)}$.

В этом случае входная величина системы задаётся выражением:

${\displaystyle {\vec {\tau }}(t)={\tilde {\mathbf {M} }}\left({\vec {\theta }}\right)\left({\ddot {\vec {\theta }}}_{d}(t)+K_{p}{\vec {\theta }}_{e}(t)+K_{i}\int _{0}^{t}{\ddot {\vec {\theta }}}_{e}(t')\,dt'+K_{d}{\dot {\vec {\theta }}}_{e}(t)\right)+{\tilde {\mathbf {C} }}\left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right)+{\tilde {\vec {\tau }}}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)}$

При таком выборе входа динамика всей системы принимает вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} \left({\vec {\theta }}\right){\ddot {\vec {\theta }}}+\mathbf {C} \left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right){\dot {\vec {\theta }}}+{\vec {\tau }}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)=&{\tilde {\mathbf {M} }}\left({\vec {\theta }}\right)\left({\ddot {\vec {\theta }}}_{d}(t)+K_{p}{\vec {\theta }}_{e}(t)+K_{i}\int _{0}^{t}{\ddot {\vec {\theta }}}_{e}(t')\,dt'+K_{d}{\dot {\vec {\theta }}}_{e}(t)\right)+{\tilde {\mathbf {C} }}\left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right)+{\tilde {\vec {\tau }}}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)\\{\ddot {\vec {\theta }}}+\mathbf {M} \left({\vec {\theta }}\right)^{-1}\left(\mathbf {C} \left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right){\dot {\vec {\theta }}}+{\vec {\tau }}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)\right)=&\underbrace {\mathbf {M} \left({\vec {\theta }}\right)^{-1}{\tilde {\mathbf {M} }}\left({\vec {\theta }}\right)} _{\approx \mathbf {1} }\left({\ddot {\vec {\theta }}}_{d}(t)+K_{p}{\vec {\theta }}_{e}(t)+K_{i}\int _{0}^{t}{\ddot {\vec {\theta }}}_{e}(t')\,dt'+K_{d}{\dot {\vec {\theta }}}_{e}(t)\right)+\mathbf {M} \left({\vec {\theta }}\right)^{-1}\left({\tilde {\mathbf {C} }}\left({\vec {\theta }},{\dot {\vec {\theta }}}\right)+{\tilde {\vec {\tau }}}_{g}\left({\vec {\theta }}\right)\right)\\{\ddot {\vec {\theta }}}=&{\ddot {\vec {\theta }}}_{d}(t)+K_{p}{\vec {\theta }}_{e}(t)+K_{i}\int _{0}^{t}{\ddot {\vec {\theta }}}_{e}(t')\,dt'+K_{d}{\dot {\vec {\theta }}}_{e}(t)\\0=&{\ddot {\vec {\theta }}}_{e}+K_{p}{\vec {\theta }}_{e}(t)+K_{i}\int _{0}^{t}{\ddot {\vec {\theta }}}_{e}(t')\,dt'+K_{d}{\dot {\vec {\theta }}}_{e}(t)\end{aligned}}}$

В результате становится возможным применять стандартные методы настройки PID-регулятора. Таким образом, сложная нелинейная задача управления сводится к относительно простой линейной задаче управления.

Поскольку классический метод управления по вычисленному моменту (CTC) обладает высокой чувствительностью к точности динамической модели и внешним возмущениям^[14][15], современные исследования направлены на преодоление этих ограничений. Основной тенденцией стало развитие гибридных подходов, объединяющих CTC с робастными, адаптивными и интеллектуальными методами управления.