Упаковка кругов в правильном треугольнике

Задача упаковки кругов в правильный треугольник — это задача упаковки, в которой требуется упаковать n единичных окружностей в наименьший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n < 13 и для любого треугольного числа кругов. Имеются гипотезы для числа кругов n < 28^[1][2][3].

Гипотеза Пала Эрдёша и Нормана Олера утверждает, что в случае, когда n является треугольным числом, оптимальная упаковка n − 1 и n кругов имеет одну и ту же длину стороны. То есть, согласно гипотезе, оптимальное решение для n − 1 кругов можно получить путём удаление одного круга из оптимальной шестиугольной упаковки n кругов^[4][5].

Минимальные по длине стороны треугольника решения^[1]:

Число кругов	Длина стороны треугольника
1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$ = 3.464...
2	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}}$ = 5.464...
3	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}}$ = 5.464...
4	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$ = 6.928...
5	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}}$ = 7.464...
6	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}}$ = 7.464...
7	${\displaystyle 2+4{\sqrt {3}}}$ = 8.928...
8	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}}$ = 9.293...
9	${\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}}$ = 9.464...
10	${\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}}$ = 9.464...
11	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}}$ = 10.730...
12	${\displaystyle 4+4{\sqrt {3}}}$ = 10.928...
13	${\displaystyle 4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}}$ = 11.406...
14	${\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}}$ = 11.464...
15	${\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}}$ = 11.464...

Близкая задача — покрытие правильного треугольника заданным числом кругов с как можно меньшим радиусом^[6].