Универсальное пространство

Пусть дана некоторая класс ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ топологических пространств. Элемент ${\displaystyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}}$ называется универсальным для ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, если каждое пространство из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ вложимо в ${\displaystyle \mathbb {U} }$. Менгер сформулировал и доказал случай ${\displaystyle d=1}$ следующей теоремы. В полном общем виде теорема была доказана Нёбелингом.

Теорема:^[1] ${\displaystyle (2d+1)}$-мерный куб ${\displaystyle [0,1]^{2d+1}}$ является универсальным для класса компактных метрических пространств, чья размерность покрытия по Лебегу меньше ${\displaystyle d}$.

Нёбелинг пошёл дальше и доказал:

Теорема: Подпространство ${\displaystyle [0,1]^{2d+1}}$, состоящее из точек, у которых не более ${\displaystyle d}$ координат рациональны, является универсальным для класса сепарабельных метрических пространств, чья размерность покрытия по Лебегу меньше ${\displaystyle d}$.

Последняя теорема была обобщена Липскомбом на класс метрических пространств веса ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \alpha >\aleph _{0}}$: существует одномерное метрическое пространство ${\displaystyle J_{\alpha }}$ такое, что подпространство ${\displaystyle J_{\alpha }^{2d+1}}$, состоящее из точек, у которых не более ${\displaystyle d}$ координат «рациональны» (корректно определённым образом), является универсальным для класса метрических пространств, чья размерность покрытия по Лебегу меньше ${\displaystyle d}$ и вес меньше ${\displaystyle \alpha }$^[2].

Рассмотрим категорию топологических динамических систем ${\displaystyle (X,T)}$, состоящих из компактного метрического пространства ${\displaystyle X}$ и гомеоморфизма ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$. Топологическая динамическая система ${\displaystyle (X,T)}$ называется минимальной, если не существует собственных непустых замкнутых ${\displaystyle T}$-инвариантных подмножеств. Она называется бесконечной, если ${\displaystyle |X|=\infty }$. Топологическая динамическая система ${\displaystyle (Y,S)}$ называется фактором системы ${\displaystyle (X,T)}$, если существует непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle \varphi :X\rightarrow Y}$, которое является эквивариантным, то есть ${\displaystyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$.

Аналогично определению выше, если задан класс ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ топологических динамических систем, то ${\displaystyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}}$ называется универсальным для ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, если каждая система из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ вкладывается в ${\displaystyle \mathbb {U} }$ посредством эквивариантного непрерывного отображения. Линденштраус доказал следующую теорему:

'Теорема^[3]: Пусть ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$. Компактная метрическая топологическая динамическая система ${\displaystyle (X,T)}$, где ${\displaystyle X=([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$, а ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ — сдвиг ${\displaystyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )}$

является универсальной для класса компактных метрических топологических динамических систем, чья строго меньше ${\displaystyle {\frac {d}{36}}}$ и которые имеют бесконечный минимальный фактор.

В той же статье Линденштраус задал вопрос: каково наибольшее значение константы ${\displaystyle c}$, такое что компактная метрическая топологическая динамическая система, средняя размерность которой строго меньше ${\displaystyle cd}$ и которая имеет бесконечный минимальный фактор, вкладывается в ${\displaystyle ([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$? Из приведённых выше результатов следует, что ${\displaystyle c\geq {\frac {1}{36}}}$. На этот вопрос ответили Линденштраус и Цукамото^[4], которые показали, что ${\displaystyle c\leq {\frac {1}{2}}}$, и Гутман и Цукамото^[5], которые показали, что ${\displaystyle c\geq {\frac {1}{2}}}$. Таким образом, ответ: ${\displaystyle c={\frac {1}{2}}}$.