Тригонометрические уравнения (ЕГЭ-ОГЭ)

Тригонометри́ческие уравне́ния — это уравнения, в которых переменная является аргументом тригонометрических функций.

В первую очередь к ним относят простейшие тригонометрические уравнения, имеющие вид:

${\displaystyle \sin x=a}$, ${\displaystyle \cos x=a}$, ${\displaystyle \mathrm {tg} x=a}$, где ${\displaystyle a}$ — действительное число.

Для их решения применяют Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. К их числу, в частности, относятся функции:

• арксинус (обозначается ${\displaystyle \arcsin x}$; угол, синус которого равен ${\displaystyle x}$),
• арккосинус (обозначается ${\displaystyle \arccos x}$; угол, косинус которого равен ${\displaystyle x}$),
• арктангенс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$),
• арккотангенс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x}$).

• ${\displaystyle \sin x=a.}$

При ${\displaystyle |a|>1}$ вещественных корней не существует.

При ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$ общее решение имеет вид ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,}$ где ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

Ниже указаны элементарные уравнения, к которым сводятся многие задачи такого типа:

1. sin(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z,
2. sin(x) = 1, => x = π/2 + 2πk, k ϵ Z,
3. sin(x) = −1, => x = -π/2 + 2πk, k ϵ Z,
4. sin2(x) = a => x = ±arcsin + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

• ${\displaystyle \cos x=a.}$

При ${\displaystyle |a|>1}$ вещественных корней не существует.

При ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$ общее решение задаётся формулой ${\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} }$.

Примеры элементарных уравнений:

1. cos(x) = 0, => x = π/2 + πk, k ϵ Z,
2. cos(x) = 1, => x = 2πk, k ϵ Z,
3. cos(x) = −1, => x = π + 2πk, k ϵ Z,
4. cos2(x) = a => x = ±arccos + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a,}$

Общее решение задаётся формулой ${\displaystyle x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} }$.

Примеры элементарных уравнений:

1. tg(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z,
2. tg(x) = 1, => x = π/4 + πk, k ϵ Z,
3. tg(x) = −1, => x = — π/4 + 2πk, k ϵ Z,
4. tg 2(x) = a => x = ±arctg + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Любую тригонометрическую функцию можно представить посредством тангенса или котангенса половинного угла:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}}$	${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}}$

Тригонометрические уравнения, сводимые к уравнениям, содержащим одну тригонометрическую функцию одной переменной, обычно решаются методом подстановки:

${\displaystyle \sin ^{2}x+4\cos x=2,75}$,

${\displaystyle 1-\cos ^{2}x+4\cos ^{2}x=2,75}$,

${\displaystyle \cos x=t}$, |t| ≤ 1,

${\displaystyle t^{2}-4t+1,75=0}$,

t =1/2; x = ±3π+2πn, n ∈ Z,

t=7/2 >1, решений нет.