Като, Тосио

Тосио Като внёс фундаментальный вклад в математическое обоснование квантовой механики и спектральную теорию операторов. Одним из его важнейших достижений стала теорема Като — Реллиха, позволяющая доказать самосопряжённость гамильтонианов реальных квантовых систем (например, атомов)^[10]. Теорема устанавливает, что если оператор ${\displaystyle A}$ является самосопряжённым, а оператор ${\displaystyle B}$ — симметричным и ${\displaystyle A}$-ограниченным с границей строго меньше единицы, то их сумма ${\displaystyle A+B}$ также самосопряжённа^[11]. Это позволило свести задачу к доказательству того, что операторы потенциальной энергии относительно ограничены по отношению к оператору кинетической энергии^[10]. Важным инструментом для доказательства существенной самосопряжённости операторов Шрёдингера стало неравенство Като^[8]. Оно позволяет оценить лапласиан модуля функции через лапласиан самой функции и гарантирует математическую корректность описания квантовомеханических систем с неотрицательными локально интегрируемыми с квадратом потенциалами^[8][12].

В 1950 году Като опубликовал первое математически строгое доказательство адиабатической теоремы в квантовой механике, преодолев ограничения предшествующих работ Макса Борна и Владимира Фока^[13][8]. Его доказательство допускало вырождение собственных значений и не требовало полноты набора собственных функций, что сделало теорему применимой к гамильтонианам с непрерывным спектром^[13][14]. Для этого Като ввёл понятие чисто геометрической «адиабатической динамики» (известной как динамика Като^[13][8][14]) — унитарной эволюции, точно отображающей начальное собственное подпространство в соответствующее подпространство в любой момент времени. Разработанный им математический аппарат впоследствии стал строгой базой для описания геометрической фазы Берри^[13][14].

В области математической теории рассеяния Като разработал теорию гладких возмущений для спектрального анализа систем с одним каналом рассеяния^[15]. Важную роль играет доказанная им теорема Като — Патнэма: если коммутатор двух ограниченных самосопряжённых операторов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ строго положителен (${\displaystyle i[A,B]>0}$), то оба оператора имеют чисто абсолютно непрерывный спектр, что означает отсутствие у них сингулярной непрерывной составляющей^[8]. В 1957 году была сформулирована теорема Като о каспах (условие каспа Като), описывающая поведение волновых функций в точках сингулярности кулоновского потенциала при слиянии координат двух и более частиц^[10][16]. Като доказал, что точные многоэлектронные волновые функции не являются повсеместно гладкими: в точках совпадения частиц их радиальные средние имеют разрывные первые производные^[10]. Эта работа стала самой цитируемой публикацией учёного благодаря её фундаментальному значению для квантовой химии^[10][8]. Условие каспа широко применяется для построения точных пробных волновых функций, оценки качества базисных наборов и разработки высокоточных вычислительных методов^[16].

Тосио Като внёс значительный вклад в теорию дифференциальных уравнений. В 1962 году он предложил новые методы для исследования задачи Коши для системы Навье — Стокса^[17][18], а в 1984 году доказал существование сильных $L^p$-решений этих уравнений в $\mathbb{R}^m$ и установил их связь со слабыми решениями. Кроме того, математик доказал локальную разрешимость уравнения Кортевега — де Фриза и открыл эффект, получивший в математике название «сглаживание Като»^[17][18].

Гипотеза Като (также известная как проблема квадратного корня Като) была сформулирована Тосио Като в 1961 году^[19]. Для равномерно комплексных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка в дивергентной форме ${\displaystyle L=-{\text{div}}(A(x)\nabla )}$ с ограниченными измеримыми коэффициентами она утверждает, что область определения квадратного корня из оператора ${\displaystyle L^{1/2}}$ совпадает с пространством Соболева ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$^[20][21]. Проблема была полностью решена в 2001 — 2002 годах группой математиков, в которую вошли Паскаль Аушер, Стив Хофманн, Майкл Лейси, Алан Макинтош и Филипп Чамичян^[20][21].