Тождество Брахмагупты — Фибоначчи

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта^[1]^[2]^[3]^[4] — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}

В терминах общей алгебры, это тождество означает, что множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения.

Пример: $(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.$

Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. Диофантом Александрийским в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). Индийский математик и астроном Брахмагупта в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр $n$ :

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}

Брахмагупта описал тождество в трактате «Брахма-спхута-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения уравнения Пелля (ниже)

В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» (Liber quadratorum) Фибоначчи (1225 год).

Пусть $a+bi,c+di$ — комплексные числа. Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству комплексного модуля:

|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.

В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:

|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},

или согласно определению модуля:

(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.

Решение уравнения Пелля

Как уже говорилось выше, Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении уравнения Пелля^[5]:

x^{2}-ny^{2}=1,

где $n$ — натуральное число, не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение уравнения, затем записывал тождество в следующем виде^[5]:

(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

Отсюда видно, что если тройки $x_{1},y_{1},k_{1}$ и $x_{2},y_{2},k_{2}$ образуют решение уравнения x² − Ay² = k, то можно найти ещё одну тройку:

(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2})

и т. д., получая бесконечный ряд решений.

Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году Бхаскарой II (метод «чакравала»), также опирается на тождество Брахмагупты.

Разложение целого числа на сумму двух квадратов

В сочетании с теоремой Ферма — Эйлера, тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество простых чисел вида $4m+1$ представимо в виде суммы квадратов.

Изначально тождество применялось к целым числам, однако оно справедливо в любом коммутативном кольце или в поле, например, в кольце многочленов или в поле комплексных чисел.

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай тождества четырёх квадратов Эйлера или тождества Лагранжа (теория чисел). Тождество четырёх квадратов применимо также к кватернионам, а аналогичное тождество восьми квадратов — к октонионам.

↑ Brahmagupta-Fibonacci Identity (неопр.). Дата обращения: 11 августа 2020. Архивировано 31 декабря 2020 года.
↑ Marc Chamberland: Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697, p. 60
↑ Stillwell, 2002, p. 76
↑ Шенкс, Дэниел, Solved and unsolved problems in number theory, p.209, American Mathematical Society, Fourth edition 1993.
↑ ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 195.

История математики. С древнейших времён до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
Joseph, George G. (2000), [[1] в «Книгах Google» The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics] (2nd ed.), Princeton University Press, с. 306, ISBN 978-0-691-00659-8, <[2] в «Книгах Google»>
Stillwell, John (2002), [[3] в «Книгах Google» Mathematics and its history] (2nd ed.), Springer, с. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6, <[4] в «Книгах Google»>

Brahmagupta’s identity at PlanetMath (англ.)
Brahmagupta Identity on MathWorld (англ.)

[1] Brahmagupta-Fibonacci Identity (неопр.). Дата обращения: 11 августа 2020. Архивировано 31 декабря 2020 года.

[2] Marc Chamberland: Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697, p. 60

[stillwell2-3] Stillwell, 2002, p. 76

[4] Шенкс, Дэниел, Solved and unsolved problems in number theory, p.209, American Mathematical Society, Fourth edition 1993.

[JUSH195-5] ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 195.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи

История

Комплексное представление

Применения

Решение уравнения Пелля

Разложение целого числа на сумму двух квадратов

Вариации и обобщения

Примечания

Литература

Ссылки

Категории