Теория возможностей

Для простоты предположим, что универсум дискурса Ω — конечное множество. Мера возможности — это функция ${\displaystyle \Pi }$ из ${\displaystyle 2^{\Omega }}$ в [0, 1], такая что:

Аксиома 1: ${\displaystyle \Pi (\varnothing )=0}$

Аксиома 2: ${\displaystyle \Pi (\Omega )=1}$

Аксиома 3: ${\displaystyle \Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)}$ для любых непересекающихся подмножеств ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$^[1].

Из этого следует, что, как и в вероятностном подходе на конечных вероятностных пространствах, мера возможности определяется своим поведением на одноточечных множествах:

${\displaystyle \Pi (U)=\max _{\omega \in U}\Pi (\{\omega \}).}$

Аксиома 1 трактуется как предположение о том, что Ω является исчерпывающим описанием всех возможных будущих состояний мира, так как никакой вес уверенности не присваивается элементам вне Ω.

Аксиома 2 может интерпретироваться как требование непротиворечивости информации, на основе которой строится ${\displaystyle \Pi }$. Технически она означает, что в Ω есть хотя бы один элемент с возможностью 1.

Аксиома 3 соответствует аксиоме аддитивности в теории вероятностей, однако есть важное практическое различие. Теория возможностей вычислительно более удобна, так как из аксиом 1-3 следует:

${\displaystyle \Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)}$ для любых подмножеств ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$.

Поскольку можно вычислить возможность объединения множеств, зная возможности его компонент, можно говорить о композициональности меры возможности относительно операции объединения. Однако она не композициональна относительно операции пересечения. В общем случае:

${\displaystyle \Pi (U\cap V)\leq \min \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)\leq \max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right).}$

Если Ω не является конечным, аксиому 3 можно заменить на:

Для любого множества индексов ${\displaystyle I}$, если подмножества ${\displaystyle U_{i,\,i\in I}}$ попарно непересекающиеся, то ${\displaystyle \Pi \left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}\Pi (U_{i}).}$

В отличие от теории вероятностей, где для оценки случаемости события используется одно число — вероятность, теория возможностей использует два понятия: возможность и необходимость события. Для любого множества ${\displaystyle U}$ мера необходимости определяется так:

${\displaystyle N(U)=1-\Pi ({\overline {U}})}$,

где ${\displaystyle {\overline {U}}}$ обозначает дополнение ${\displaystyle U}$, то есть элементы ${\displaystyle \Omega }$, которые не принадлежат ${\displaystyle U}$. Легко показать:

${\displaystyle N(U)\leq \Pi (U)}$ для любого ${\displaystyle U}$,

и также:

${\displaystyle N(U\cap V)=\min(N(U),N(V))}$.

В отличие от теории вероятностей, мера возможности не самодвойственна. То есть для любого события ${\displaystyle U}$ справедливо только неравенство:

${\displaystyle \Pi (U)+\Pi ({\overline {U}})\geq 1}$.

Однако действует следующее правило двойственности:

Для любого события ${\displaystyle U}$: либо ${\displaystyle \Pi (U)=1}$, либо ${\displaystyle N(U)=0}$.

Соответственно, убеждённость относительно события можно представить как числом, так и двоичной «разрядкой».

Существуют четыре основные интерпретации:

• ${\displaystyle N(U)=1}$ — ${\displaystyle U}$ необходимо; ${\displaystyle U}$ несомненно истинно. Это влечёт ${\displaystyle \Pi (U)=1}$.
• ${\displaystyle \Pi (U)=0}$ — ${\displaystyle U}$ невозможно; ${\displaystyle U}$ несомненно ложно. Это означает ${\displaystyle N(U)=0}$.
• ${\displaystyle \Pi (U)=1}$ — ${\displaystyle U}$ возможно; его осуществление не вызывает удивления, но ${\displaystyle N(U)}$ никак не ограничивается.
• ${\displaystyle N(U)=0}$ — ${\displaystyle U}$ не обязательно; отсутствие события не вызывает удивления, при этом ${\displaystyle \Pi (U)}$ никак не ограничивается.

Пересечением последних двух случаев является ${\displaystyle N(U)=0}$ и ${\displaystyle \Pi (U)=1}$, что интерпретируется как полное отсутствие убеждённости относительно ${\displaystyle U}$. Благодаря допущению такой неопределённости теория возможностей близка к многозначной логике, такой как интуиционистская логика, в отличие от классической двузначной логики.

Отметим, что, в отличие от меры возможности, нечёткая логика композициональна как по объединению, так и по пересечению. Связь с теорией нечёткости можно проиллюстрировать следующим классическим примером:

• Нечёткая логика: если бутылка наполовину полна, уровень истинности высказывания «бутылка полна» равен 0,5. Слово «полна» трактуется как нечёткий предикат, описывающий количество жидкости в бутылке.
• Теория возможностей: есть одна бутылка, которая либо полностью полна, либо абсолютно пуста. Выражение «уровень возможности того, что бутылка полна — 0,5» отражает степень убеждённости. Один из способов интерпретации 0,5: я готов ставить на то, что бутылка пуста, пока шансы не хуже 1:1, и не буду ставить на то, что она полна.

Между теориями вероятностей и возможностей существует формальная связь: операция сложения в теории вероятностей соответствует операции максимума в теории возможностей.

Меру возможности можно трактовать как консонантную меру правдоподобия в теории Дёмпстера — Шафера (теории свидетельств). Операторы теории возможностей можно рассматривать как «гиперосторожные» версии операторов модели передаваемого убеждения, современного развития теории свидетельств.

Меру возможности можно трактовать как верхнюю вероятность: любая распределённая мера возможности определяет единственное множество допустимых вероятностных распределений так, что

${\displaystyle K=\{\,P\mid \forall S\ P(S)\leq \Pi (S)\,\}.}$

Это позволяет изучать теорию возможностей инструментами теории неточных вероятностей.

Обобщённой возможностью называют любую функцию, удовлетворяющую аксиомам 1 и 3. Обобщённой необходимостью называют двойственную к обобщённой возможности функцию. Обобщённые меры необходимости тесно связаны с особым видом нечёткой логики — логикой необходимости. В логике необходимости аксиомами служат стандартные классические тавтологии, и существует единственное правило вывода, расширяющее стандартный модус поненс. Оно формулируется так: если α и α → β доказаны с уровнями уверенности λ и μ, то β принимается с уровнем строгости min{λ, μ}. Теории такой логики совпадают с обобщёнными необходимостями, а полностью согласованные теории совпадают с классическими необходимостями (см. например Gerla, 2001).