Теорема Ньютона о сферической оболочке

Теорема Ньютона состоит из двух утверждений, в обоих рассматривается сфера произвольного радиуса ${\displaystyle R}$, по поверхности которой равномерно распределена масса ${\displaystyle M}$. Первое утверждение гласит, что внутри сферы гравитационный потенциал везде одинаков — это означает, что ускорение, которое сфера придаёт телам внутри неё, равняется нулю. Вторая часть теоремы состоит в том, что гравитационный потенциал вне сферы, создаваемый ей, совпадает с гравитационным потенциалом, который бы создавала точечная масса ${\displaystyle M}$, помещённая в центр сферы взамен её. Это равносильно тому, что сфера притягивает внешние тела так же, как и точечная масса ${\displaystyle M}$, размещённая в центре сферы. Обе части теоремы доказал Исаак Ньютон^[1][2].

Первую часть теоремы можно вывести следующим образом. Нужно рассмотреть точку внутри сферы и малый телесный угол ${\displaystyle d\Omega }$, направленный в две противоположные стороны. Площади на поверхности сферы, а значит, и заключённые в них массы ${\displaystyle \delta m_{1}}$ и ${\displaystyle \delta m_{2}}$, которые пересекает такой телесный угол, пропорциональны квадрату расстояний от точки до соответствующих участков ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$. Тогда ${\displaystyle \delta m_{1}/r_{1}^{2}=\delta m_{2}/r_{2}^{2}\,.}$ Следовательно, для каждого малого телесного угла притяжение в противоположных направлениях оказывается одинаковым, а значит, суммарное ускорение внутри сферы также всюду равняется нулю. Поскольку гравитационное ускорение равняется градиенту гравитационного потенциала, то можно равносильно утверждать, что гравитационный потенциал внутри сферы всюду одинаков^[3].

Вторую часть теоремы удобнее выводить, вычисляя гравитационный потенциал ${\displaystyle U}$ в точке ${\displaystyle K}$ вне сферы на расстоянии ${\displaystyle r}$ от её центра. Сначала можно рассмотреть пояс на сфере, который ограничен углами от ${\displaystyle \theta }$ до ${\displaystyle \theta +d\theta }$ между направлениями от центра сферы к точке на ней и направлением на точку ${\displaystyle K}$. Площадь поверхности такого слоя равняется ${\displaystyle 2\pi R^{2}\sin \theta d\theta }$, поверхностную плотность можно обозначить как ${\displaystyle \sigma =M/4\pi R^{2}}$. Кроме того, его точки находятся на одном расстоянии ${\displaystyle l}$ от ${\displaystyle K}$, поскольку пояс симметричен относительно оси, соединяющей центр сферы и точку ${\displaystyle K}$. Тогда потенциал ${\displaystyle dU}$, который создаётся поясом, можно выразить как^[1][4]:

${\displaystyle dU=-{\frac {G\cdot \sigma \cdot 2\pi R^{2}\sin \theta d\theta }{l}}\,.}$

С учётом известного ${\displaystyle \theta }$, по теореме косинусов можно выразить ${\displaystyle l}$^[5]:

${\displaystyle l^{2}=r^{2}+R^{2}-2rR\cos \theta \,.}$

При дифференцировании обеих частей получится^[5]:

${\displaystyle {\frac {R\sin \theta d\theta }{l}}={\frac {dl}{r}}\,.}$

Тогда выражение для потенциала можно записать в виде^[5]:

${\displaystyle dU=-{\frac {G\cdot \sigma \cdot 2\pi R}{r}}dl\,.}$

Потенциал от всей сферы можно получить как сумму потенциалов для всех поясов. При этом потенциал пропорционален ${\displaystyle dl}$, а от самой близкой к самой далёкой от ${\displaystyle K}$ точки сферы ${\displaystyle l}$ меняется на ${\displaystyle 2R}$. Таким образом, при суммировании получается^[5][4]:

${\displaystyle U=-{\frac {G\cdot \sigma \cdot 4\pi R^{2}}{r}}=-{\frac {GM}{r}}\,.}$

Это значение соответствует гравитационному потенциалу точечной массы ${\displaystyle M}$, расположенной на месте центра сферической оболочки. Таким образом, тонкая сферическая оболочка с равномерным распределением массы притягивает тела так же, как точечная масса^[5].

Можно рассмотреть шар, плотность которого зависит только от радиуса. В этом случае можно условно разделить его на множество тонких сферических оболочек с общим центром, каждая из которых удовлетворяет условию теоремы. Таким образом, можно сделать аналогичный вывод: шар со сферически симметричным распределением массы будет притягивать так же, как и точка той же массы, расположенная на месте центра шара^[1]. Следовательно, закон всемирного тяготения для реальных сферически симметричных тел, таких как планеты или звёзды, можно использовать так же, как и для точечных масс^[4][6].