Теорема Киршбрауна о продолжении

Здесь и далее ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ будет обозначать одно из трёх пространств ${\displaystyle \mathbb {E} ^{d}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}}$ или ${\displaystyle \mathbb {H} ^{d}}$.

Пусть ${\displaystyle U}$ — подмножество в ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ и ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle U\to {\mathfrak {X}}}$ — нерастягивающее отображение. Тогда это ${\displaystyle f}$ может быть продолжено до нерастягивающего отображения ${\displaystyle {\bar {f}}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}}$.

Все имеющиеся на данный момент доказательства теорем Киршбрауна являются аналитическими^[2]. Доказательство теоремы использует геометрические особенности гильбертовых пространств. Соответствующее утверждение для банаховых пространств неверно в общем случае, даже для конечномерных банаховых пространств. В качестве примера можно построить контрпримеры, где область является подмножеством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с максимальной нормой и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ имеет евклидову норму^[3]. В более общем смысле, теорема неверна для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$с любым ${\displaystyle \ell _{p}}$ (${\displaystyle p\neq 2}$)^[4].

Для ${\displaystyle \mathbb {R} }$-значной функции расширение ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{Lip}}(f)\cdot d(x,u){\big )},}$ где ${\displaystyle {\text{Lip}}(f)}$ является константой Липшица ${\displaystyle f}$ на U^[5].

В общем случае расширение также может быть написано для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$-значных функций как:

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\nabla _{y}({\textrm {conv}}(g(x,y))(x,0)}$,

где ${\displaystyle g(x,y):=\inf _{u\in U}\left\{\langle f(u),y\rangle +{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x-u\|^{2}\right\}+{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x\|^{2}+{\text{Lip}}(f)\|y\|^{2}}$ и ${\displaystyle {\textrm {conv}}(g)}$ — нижняя выпуклая оболочка ${\displaystyle g}$^[6].

• Естественно обобщается на:
  • Отображения из подмоножества гильбертова пространства в гильбертово пространство.
  • Отображения из подмоножества пространства Лобачевского в пространство Лобачевского той же кривизны.
• Аналогичный результат для отображений между сферами неверен, однако теорема остаётся верной для:
  • Отображения из подмоножества сферы в полусферу той же кривизны.
  • Отображения из подмоножества сферы в сферу той же кривизны не меньшей размерности.
• Аналогичный результат для банаховых пространств неверен.

Метрическая геометрия

• Обобщение теоремы Киршбрауна на метрические пространства дано Лэнгом и Шрёдерем^[7].
• Любое короткое отображение, определённое на подмножестве произвольного метрического пространства со значениями в инъективном пространстве допускает короткое продолжение на всё пространство. Это даёт другое обобщение теоремы на метрические пространства. К инъективным пространствам относятся вещественная прямая и метрические деревья, а также ${\displaystyle L^{\infty }}$-пространства.
• Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство со свойством удвоения и ${\displaystyle A\subset X}$ и ${\displaystyle V}$ — банахово пространство, то любое ${\displaystyle L}$-липшицево отображение ${\displaystyle A\to V}$ продолжается до ${\displaystyle C\cdot L}$-липшицева отображения ${\displaystyle X\to V}$, где константа ${\displaystyle C}$ зависит только от параметра в свойстве удвоения^[8].

Теорема была доказана Моисеем Киршбрауном в диссертации^[9]. Ф. Валентайном было доказано аналогичное утверждение для сферических и гиперболических пространств^[10]. Поэтому эту теорему иногда называют теоремой Киршбрауна-Валентайна .