Свойство удвоения

Напомним, что в произвольном метрическом пространстве ${\displaystyle B(x,r)}$ обозначает шар с центром ${\displaystyle x}$ и радиусом ${\displaystyle r}$.

Ненулевая мера ${\displaystyle \mu }$ на метрическом пространстве удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная ${\displaystyle C}$ такая, что

${\displaystyle 0<\mu [B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot \mu [B(x,r)]<\infty }$

для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle r>0}$.

Метрическое пространство ${\displaystyle X}$ удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная ${\displaystyle M}$, такая, что любой шар радиуса ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle X}$ можно покрыть ${\displaystyle M}$ шарами радиуса ${\displaystyle r/2}$.^[1]

Иногда рассматривается более слабый вариант свойства удвоение при котором требуется, что радиус ${\displaystyle r}$ не превышает некоторой положительной константы ${\displaystyle r_{0}}$.

• Любое метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей свойству удвоения, само удовлетворяет свойству удвоения.
  • И наоборот, на любом полном метрическом пространстве со свойством удвоения существует мера со свойством удвоения.^[2]
• (Теорема Асада) Пусть метрическое пространство ${\displaystyle (X,d)}$ удовлетворяет свойству удвоения, тогда для любого ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, пространство ${\displaystyle (X,d^{\alpha })}$ допускает билипшицево вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности.
• Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство со свойством удвоения и ${\displaystyle A\subset X}$ и ${\displaystyle V}$ — банахово пространство, то любое ${\displaystyle L}$-Липшицево отображение ${\displaystyle A\to V}$ продолжается до ${\displaystyle C\cdot L}$-Липшицева отображения ${\displaystyle X\to V}$, где константа ${\displaystyle C}$ зависит только от параметра в свойстве удвоения.^[3]

• Мера Лебега в евклидовом пространстве удовлетворяет свойству удвоения. Постоянная равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{m}}}}$, где ${\displaystyle m}$ обозначает размерность.