Теорема Борсука — Улама

Для непрерывной функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$, где ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ — сфера в ${\displaystyle (n+1)}$-мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки ${\displaystyle a,-a\in \mathbb {S} ^{n}}$, что ${\displaystyle f(a)=f(-a)}$.

• Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция ${\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ из ${\displaystyle n}$-мерной сферы в ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство в одной из точек ${\displaystyle a\in \mathbb {S} ^{n}}$ обращается в нуль: ${\displaystyle g(a)=0}$. Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ нечётной функции ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$. В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует изоморфизм Гуревича (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).

• В 1954 году Абрам Ильич Фет обобщил результат^[4]: утверждение теоремы имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции ${\displaystyle n}$-мерной сферы, то есть, для всякой инволюции ${\displaystyle ^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}}$ и любой непрерывной функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ найдётся такая точка ${\displaystyle a\in \mathbb {S} ^{n}}$, что ${\displaystyle f(a)=f(a^{*})}$^[5][6].