Счёт (математика)

Понятие счёта неочевидно и не требуется для многих элементарных задач, при решении которых используется подсчёт объектов: человек и некоторые животные способны почти мгновенно, без пересчёта, оценивать небольшое (обычно до четырёх) количество предметов — эта способность называется субитизацией^[2]. Например, первобытный охотник не считал своих спутников, а убеждался в том, что никто не отстал, просто окинув группу взглядом. Схожие навыки есть даже у утки, которая в силах почувствовать, все ли утята следуют за ней. Аналогично, Дж. Морган наблюдал у австралийских племён обмен угрей на коренья, при котором предметы раскладывались в два сопоставленных ряда. Одним из ранних способов абстрагирования количества было сопоставление предметов с пальцами рук и ног^[1]. Миклухо-Маклай описывает групповой десятичный счёт у папуасов: один откладывал предметы по одному, второй на каждый загибал палец — сперва на одной руке, затем на другой, — а третий, услышав «две руки», загибал свой палец, отмечая очередной десяток^[3]. Так возникли предпосылки десятичной системы счисления, некоторые языки сохранили память о системах с основанием 20 (пальцы рук и ног, грузинский язык), 11 (счёт на пальцах, к которому добавлялась ещё и сама рука как отдельная единица, — по-видимому, у новозеландцев), 5 (пальцы одной руки, шумеры, ацтеки)^[4]. Встречалась и двоичная система счисления (у племени на одном из островов Торресова пролива: 1 = урапун, 2 = окоза, 3 = окоза-урапун, 4 = окоза-окоза)^[5].

При обучении разделяется порядковый и количественный счёт (то есть использование порядковых и количественных числительных), а также прямой и обратный счёт — по возрастанию или убыванию числового ряда^[9].

Т. С. Будько выделяет следующие этапы развития методики обучения счёту^[10]:

• XVI—XIX век: появление идеи о математической подготовке в возрасте 4—7 лет;
  • XVI век: И. Фёдоров в «Букваре» впервые высказал мысль об обучении счёту через специальные упражнения;
  • XVII век: Я. А. Коменский предложил обучение счёту в пределах 20 в возрасте 4—6 лет;
  • XVIII век:
    • И. Г. Песталоцци — обучение счёту конкретных предметов (число — форма — слово);
    • Л. Ф. Магницкий издал первую печатную русскую «Арифметику», где предлагал обучать нумерации и арифметическим действиям;
  • XIX век:
    • К. Д. Ушинский — обучение счёту группами, десятками;
    • Л. Н. Толстой в «Азбуке» предлагал учить детей считать вперёд и назад в пределах 100 через игру;
    • А. В. Грубе предложил «монографический» метод обучения: дети должны рассматривать числа в пределах 100, представленные в виде точек или чёрточек, сравнивать числа между собой, определяя, какое число больше и насколько. Грубе предполагал, что при этом дети освоят арифметические действия в результате таких наблюдений;
    • В. А. Лай предложил использовать вместо точек специальные фигуры;
    • В. А. Евтушевский предложил ограничить числа двадцатью;
    • П. С. Гурьев, А. Дистервег изобрели «вычислительный метод» (также «метод изучения действий»), в котором дети сначала считают конкретные множества, а затем арифметические действия по десяткам (сначала до 10, потом до 20 и так далее);
    • Ф. Фрёбель создал пособие «Дары» для обучения счёту, знакомства с геометрическими формами и величинами;
  • конец XIX — начало XX века: М. Монтессори в книге «Дом ребёнка» предложила дидактический материал для представлений о числах в пределах 1000;
  • XX век: С. А. Кемниц в книге «Математика в детском саду» (1912 год) изложила все разделы программы, применяющиеся до сих пор.

Освоение счёта не сводится к заучиванию числительных: ребёнок может уверенно пересчитывать небольшие группы предметов и сравнивать числа в привычном диапазоне, свободно продолжая счёт от любого числа, но ещё не оперировать самим числом как отвлечённой величиной — например, для сложения он заново пересчитывает предметы, вместо того чтобы использовать уже известное количество как данность^[11].