Счётно компактное пространство

Счётно компа́ктное простра́нство — топологическое пространство, из любого счётного открытого покрытия которого можно выбрать конечное подпокрытие^[1]^[2]^[3]^[4]. (Под открытым покрытием пространства $X$ понимается его покрытие открытыми в $X$ множествами.) Более подробно: топологическое пространство $X$ счётно компактно, если для любого счётного семейства ${\mathcal {U}}$ его открытых подмножеств, такого, что $X=\bigcup {\mathcal {U}}$ , существует конечное семейство ${\mathcal {U}}_{0}\subset {\mathcal {U}}$ , для которого $X=\bigcup {\mathcal {U}}_{0}$ .

Отличие этого определения от определения компактности состоит в том, что требуется наличие конечных подпокрытий лишь у счётных (а не произвольных) открытых покрытий.

Всякое компактное пространство счётно компактно; обратное неверно. Вместе с тем в классе метризуемых (и, более общо, паракомпактных) пространств из счётной компактности следует компактность — другими словами, для метризуемых пространств свойства компактности и счётной компактности равносильны^[5].

Счётно компактные пространства (введённые М. Фреше в 1906 г.) были определены раньше компактных пространств. До 1940-х годов они обычно назывались компактными пространствами, а пространства, компактные в современным смысле, назывались бикомпактными (термин П. С. Александрова и П. С. Урысона; приставка «би-» была призвана обозначать «двойную» компактность: инициальную и финальную^[a]). В СССР и России (прежде всего в научной школе П. С. Александрова) эта терминология сохранялась местами вплоть до 2000-х годов (например, в работах Б. А. Пасынкова^[6]); она также была принята в фундаментальной «Математической энциклопедии» (1977—1985). Поскольку для метризуемых (в частности, для евклидовых) пространств понятия счётной компактности и компактности эквивалентны, разница понимания термина «компактность» в применении к общим (не обязательно метризуемым) топологическим пространствам не была критичной для классических разделов анализа и геометрии.

Счётная компактность может быть охарактеризована несколькими способами — а именно, для топологического пространства $X$ следующие условия эквивалентны^[7]^[8]^[4]:

(i) пространство

X

счётно компактно;

(ii) любая убывающая последовательность

F_{1}\supset F_{2}\supset \ldots

непустых замкнутых в

X

множеств имеет непустое пересечение (то есть

\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}\neq \varnothing

);

(iii) любое локально конечное семейство непустых подмножеств пространства

X

конечно;

(iv) любое бесконечное подмножество пространства

X

имеет строгую предельную точку^[b];

(v) любое счётное бесконечное подмножество пространства

X

имеет строгую предельную точку^[b];

(vi) любая последовательность точек пространства

X

имеет предельную точку^[c].

Доказательство

(i) $\implies$ (ii). Предположим противное: существует убывающая последовательность $F_{1}\supset F_{2}\supset \ldots$ непустых замкнутых в $X$ множеств, имеющая пустое пересечение. Тогда семейство множеств $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , где $U_{n}=X\setminus F_{n}$ (дополнение множества $F_{n}$ ) для всех $n=1,2,\ldots$ , является открытым покрытием пространства $X$ , причём $U_{1}\subset U_{2}\subset \ldots$ . В силу счётной компактности из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие $U_{n_{1}},\ldots ,U_{n_{k}}$ ; легко видеть, что тогда $X=U_{n_{1}}\cup \ldots \cup U_{n_{k}}=U_{m}$ , где $m$ — наибольший из номеров $n_{1},\ldots ,n_{k}$ . Поэтому $F_{m}=\varnothing$ , что противоречит условию непустоты каждого из множеств $F_{1},F_{2},\ldots$ .

(ii) $\implies$ (iii). Предположив противное, легко заключить, что существует некоторое локально конечное семейство вида $\{A_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ непустых подмножеств пространства $X$ . Тогда, как легко проверить, множества $F_{n}={\overline {\bigcup \limits _{k=n}^{\infty }A_{k}}}$ (здесь черта сверху обозначает замыкание), $n=1,2,\ldots$ , непусты, замкнуты и образуют убывающую последовательность, причём $\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\varnothing$ .

Для доказательства импликации (iii) $\implies$ (iv) достаточно заметить, что множество $A\subset X$ имеет строгую предельную точку в том и только в том случае, если семейство одноточечных множеств ${\big \{}\,\{a\}\,{\big \}}_{a\in A}$ не локально конечно. Импликация (iv) $\implies$ (v) тривиальна.

(v) $\implies$ (vi). Пусть $\{x_{n}\}$ — последовательность точек пространства $X$ и $A$ — множество значений этой последовательности, то есть

A=\{x\in X:x=x_{n}

для некоторого

n\in \mathbb {N} \}

.

Если множество $A$ конечно, то любая его точка, очевидно, является предельной точкой последовательности $\{x_{n}\}$ . Если же оно бесконечно, то в силу (v) оно имеет строгую предельную точку, которая, как легко видеть, является предельной точкой последовательности $\{x_{n}\}$ .

(vi) $\implies$ (i). Предположим, что из некоторого открытого покрытия $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ пространства $X$ нельзя извлечь никакое конечное подпокрытие. Тогда для каждого $n=1,2,\ldots$ найдётся точка $x_{n}\in X$ , не принадлежащая ни одному из множеств $U_{1},\ldots ,U_{n}$ , то есть

x_{n}\notin U_{m}

при

n\geqslant m

.

Пусть $\{x\}$ — предельная точка последовательности $\{x_{n}\}$ . С помощью предыдущего соотношения легко доказать, что $x$ не может принадлежать ни одному из множеств $U_{m}$ . Противоречие.

Если $X$ — T₁-пространство, то слово «строгую» в условиях (iv) и (v) можно опустить (см. ниже о компактности в смысле Больцано — Вейерштрасса).

Каждое компактное пространство очевидным образом счётно компактно. Определённое ниже топологическое пространство $W_{0}$ является стандартным примером счётно компактного некомпактного пространства (кроме того, пространство $W_{0}$ нормально и локально компактно)^[9]^[2].

Пусть $W_{0}$ обозначает пространство ординалов, меньших первого несчётного ординала $\omega _{1}$ , взятое с интервальной топологией (то есть с топологией, порождённой базой, состоящей из одноточечного множества $\{0\}$ и всевозможных интервалов вида $(\alpha ,\beta ]=\{\gamma \in W_{0}:\alpha <\gamma \leqslant \beta \}$ , где $\alpha <\beta <\omega _{1}$ ). Используя вполне упорядоченность множества $W_{0}$ , можно показать, что для любого ординала $\alpha <\omega _{1}$ открытое подпространство $T_{\alpha }=\{\gamma \in W_{0}:\gamma \leqslant \alpha \}\subset W_{0}$ компактно. Из открытого покрытия пространства $W_{0}$ множествами $T_{\alpha }$ , где $\alpha \in W_{0}$ , нельзя выделить конечное подпокрытие, поэтому $W_{0}$ не компактно. Далее, любое счётное множество $A\subset W_{0}$ обладает (точной) верхней гранью $\alpha _{0}\in W_{0}$ и поэтому содержится в пространстве $T_{\alpha _{0}}$ . Из компактности последнего следует, что $A$ имеет (строгую) предельную точку.

Каждое замкнутое подпространство счётно компактного пространства счётно компактно^[10].
Класс счётно компактных пространств сохраняется непрерывными отображенями (то есть если $f\colon X\to Y$ — непрерывное отображение счётно компактного пространства на топологическое пространство $Y$ , то $Y$ счётно компактно)^[11].
Тривиальный пример постоянного отображения $f\colon X\to \{{\bullet }\}$ произвольного топологического пространства в одноточечное пространство показывает, что прообраз счётно компактного (и даже компактного) пространства при непрерывном отображении может не быть счётно компактным. Однако если непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ замкнуто и прообраз $f^{-1}(y)$ каждой точки $y\in Y$ является счётно компактным подпространством пространства $X$ , то для каждого счётно компактного подпространства $Z\subset Y$ его прообраз $f^{-1}(Z)\subset X$ счётно компактен^[12].
Каждая непрерывная вещественная функция, определённая на счётно компактном пространстве, ограничена и принимает наибольшее и наименьшее значения^[13].
Произведение $X\times Y$ счётно компактных пространств может не быть счётно компактным (таким образом, в отличие от компактности, свойство счётной компактности не мультипликативно). Однако произведение двух счётно компактных пространств, хотя бы одно из которых является k-пространством, счётно компактно^[14]. В частности, произведение счётно компактного и компактного пространств компактно.

Счётно компактным является каждое ω-ограниченное пространство (пространство $X$ называется ω-ограниченным, если замыкание каждого счётного подмножества $A\subset X$ компактно; пространство $W_{0}$ из примера выше является ω-ограниченным)^[15]. Кроме того, каждое секвенциально компактное пространство (то есть топологическое пространство, в котором каждая последовательность точек содержит сходящуюся подпоследовательность) счётно компактно^[16] — это сразу следует из условия (vi) выше и того, что предел подпоследовательности некоторой последовательности $\{x_{n}\}$ является предельной точкой последовательности $\{x_{n}\}$ .

Из условия (iii) выше легко следует, что каждое паракомпактное (и, в частности, метризуемое) счётно компактное пространство компактно. Доказательство компактности счётно компактных метризуемых пространств может быть получено и более непосредственным способом.

Схема доказательства

Пусть пространство $X$ счётно компактно и $\rho$ — метрика, порождающая топологию на $X$ . Достаточно доказать, что $(X,\rho )$ — вполне ограниченное метрическое пространство: тогда оно имеет счётную базу и поэтому из любого его открытого покрытия можно выбрать счётное подпокрытие (то есть оно обладает свойством Линделёфа), из которого, в свою очередь, можно выбрать конечное подпокрытие в силу счётной компактности пространства $X$ .

Предположим, что $(X,\rho )$ не вполне ограничено, то есть существует $\varepsilon >0$ , такое, что никакое конечное подмножество $A\subset X$ не является $\varepsilon$ -сетью в $X$ . Используя это предположение, можно последовательно выбрать точки $x_{1},x_{2},\ldots$ , для которых $\rho (x_{i},x_{j})\geqslant \varepsilon$ при всех $i\neq j$ . Тогда последовательность $\{x_{n}\}$ , не имеет предельных точек в $X$ , что противоречит условию (vi) выше.

Говорят, что топологическое пространство $X$ компактно в смысле Больцано — Вейерштрасса^[17] (или компактно в смысле предельных точек, англ. limit-point compact^[18]), если любое бесконечное подмножество $A\subset X$ имеет предельную точку в $X$ . Другими словами, пространства, компактные в смысле Больцано — Вейерштрасса определяются ослаблением условия (iv) выше (не требуется, чтобы существующая предельная точка была строгой). Таким образом, из счётной компактности следует компактность в смысле Больцано — Вейерштрасса, а в классе Т₁-пространств эти два понятия совпадают (поскольку в Т₁-пространстве любая предельная точка множества является строгой предельной точкой).

Топологическое пространство компактно в смысле Больцано — Вейерштрасса в том и только в том случае, если в нём не существует бесконечного замкнутого дискретного подпространства (то есть бесконечного замкнутого подмножества, состоящего лишь из своих изолированных точек).

↑ Топологическое пространство инициально компактно, если из любого его счётного покрытия можно выбрать конечное (то есть оно, в современных терминах, счётно компактно), и финально компактно, если из любого его открытого покрытия можно выбрать не более чем счётное покрытие (свойство финальной компактности сейчас обычно называют свойством Линделёфа). Бикомпактные пространства суть те, что одновременно инициально и финально компактны, при этом инициальную и финальную компактность также можно рассматривать относительно любой (не только счётной) мощности.
↑ ¹ ² Точка $x$ топологического пространства $X$ называется строгой предельной точкой (или точкой $\aleph _{0}$ -накопления) множества $A\subset X$ , если любая её окрестность содержит бесконечное много точек из $A$ . Строгая предельная точка множества является его предельной точкой; обратное в общем случае неверно, но для T₁-пространств (и, в частности, хаусдорфовых пространств) понятия строгой предельной точки и предельной точки совпадают.
↑ Точка $x$ топологического пространства $X$ называется предельной точкой последовательности $\{x_{n}\}$ точек из $X$ , если если для любой её окрестности $U$ и любого натурального $N$ найдётся такое $n\geqslant N$ , что $x_{n}\in U$ . Это условие эквивалентно следующему: любая окрестность $U$ точки $x$ содержит бесконечное число членов последовательности $\{x_{n}\}$ (то есть множество $\{n\in \mathbb {N} :x_{n}\in U\}$ бесконечно). Важно отметить, что из этого в общем случае не следует существование подпоследовательности из $\{x_{n}\}$ , сходящейся к $x$ . Следует чётко различать понятия (строгой) предельной точки множества и предельной точки последовательности.

Источники

↑ Энгелькинг, 1986, раздел 3.10.
↑ ¹ ² Архангельский, 1989, с. 11.
↑ Сипачёва, 2014, §9.4.
↑ ¹ ² Encyclopedia of GT, 2004, p. 174.
↑ Энгелькинг, 1986, Теорема 4.1.17.
↑ Пасынков, с. 202–213.
↑ Энгелькинг, 1989, теоремы 3.10.2, 3.10.3.
↑ Сипачёва, 2014, Теорема 9.23.
↑ Энгелькинг, 1986, Пример 3.10.16.
↑ Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.4.
↑ Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.5.
↑ Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.9.
↑ Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.6.
↑ Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.13.
↑ Архангельский, 1989, с. 12.
↑ Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.30.
↑ Encyclopedia of GT, 2004, p. 24.
↑ Munkres, 2000, p. 178.

Энгелькинг Р. Общая топология = General Topology (рус.) / пер. с англ. М. Я. Антоновского, А. В. Архангельского. — М.: Мир, 1986. — 752 с. — 8000 экз.
Архангельский А. В. Компактность (рус.) // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления : сб. / науч. ред. и сост. Р. В. Гамкрелидзе.. — М.: ВИНИТИ, 1989. — Т. 50 (Общая топология–2). — С. 5—128.
Пасынков Б. А. Монотонность размерности и открытые отображения, повышающие размерность (рус.) // Геометрическая топология и теория множеств. К 100-летию со дня рождения профессора Людмилы Всеволодовны Келдыш : сб. — М.: Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», 2004. — Т. 247 (Труды МИАН). — С. 202—213.
Сипачёва О. В. Начала общей топологии (рус.). — М.: Издательство МЦНМО, 2024. — 432 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-4439-1817-4.
Munkres J. R. Topology (англ.). — 2^nd edition. — Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 2000. — xvi, 538 p. — ISBN 0-13-181629-2.
Encyclopedia of General Topology (англ.) / ed.by K. P. Hart, J. Nagata, J. E. Vaughan. — Amsterdam: Elsevier, 2004. — x, 526 p. — ISBN 0444503552. — doi:10.1016/B978-0-444-50355-8.X5000-4.

Правообладателем данного материала является АНО «Интернет-энциклопедия «РУВИКИ».
Использование данного материала на других сайтах возможно только с согласия АНО «Интернет-энциклопедия «РУВИКИ».

[6] Топологическое пространство инициально компактно, если из любого его счётного покрытия можно выбрать конечное (то есть оно, в современных терминах, счётно компактно), и финально компактно, если из любого его открытого покрытия можно выбрать не более чем счётное покрытие (свойство финальной компактности сейчас обычно называют свойством Линделёфа). Бикомпактные пространства суть те, что одновременно инициально и финально компактны, при этом инициальную и финальную компактность также можно рассматривать относительно любой (не только счётной) мощности.

[stronglimit-10] ¹ ² Точка $x$ топологического пространства $X$ называется строгой предельной точкой (или точкой $\aleph _{0}$ -накопления) множества $A\subset X$ , если любая её окрестность содержит бесконечное много точек из $A$ . Строгая предельная точка множества является его предельной точкой; обратное в общем случае неверно, но для T₁-пространств (и, в частности, хаусдорфовых пространств) понятия строгой предельной точки и предельной точки совпадают.

[11] Точка $x$ топологического пространства $X$ называется предельной точкой последовательности $\{x_{n}\}$ точек из $X$ , если если для любой её окрестности $U$ и любого натурального $N$ найдётся такое $n\geqslant N$ , что $x_{n}\in U$ . Это условие эквивалентно следующему: любая окрестность $U$ точки $x$ содержит бесконечное число членов последовательности $\{x_{n}\}$ (то есть множество $\{n\in \mathbb {N} :x_{n}\in U\}$ бесконечно). Важно отметить, что из этого в общем случае не следует существование подпоследовательности из $\{x_{n}\}$ , сходящейся к $x$ . Следует чётко различать понятия (строгой) предельной точки множества и предельной точки последовательности.

[_6a3a5fc7cb4a9ebf-1] Энгелькинг, 1986, раздел 3.10.

[_5da69082c247630d-2] ¹ ² Архангельский, 1989, с. 11.

[_dc62e23e6e70cad2-3] Сипачёва, 2014, §9.4.

[_030c5aba50f87115-4] ¹ ² Encyclopedia of GT, 2004, p. 174.

[_0e4a842ab0742063-5] Энгелькинг, 1986, Теорема 4.1.17.

[_f26f66795019f5c4-7] Пасынков, с. 202–213.

[_1704857c3f174d77-8] Энгелькинг, 1989, теоремы 3.10.2, 3.10.3.

[_fcfc0efdefcf6e9d-9] Сипачёва, 2014, Теорема 9.23.

[_1b0056d2eaebead4-12] Энгелькинг, 1986, Пример 3.10.16.

[_bc6eea2abd5a28f0-13] Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.4.

[_c7b27d2ac47812e7-14] Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.5.

[_2d18c12afd2f5623-15] Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.9.

[_adb70c2ab5c1c9e6-16] Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.6.

[_7b90fbcb083e3c94-17] Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.13.

[_5da69082c247630e-18] Архангельский, 1989, с. 12.

[_1a6a60b9b71352e3-19] Энгелькинг, 1986, Теорема 3.10.30.

[_334071eec5ec9531-20] Encyclopedia of GT, 2004, p. 24.

[_83ffad4f0403604c-21] Munkres, 2000, p. 178.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[a]

[6]

[7]

[8]

[b]

[c]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

Счётно компактное пространство

Характеристические свойства счётной компактности

Пример

Основные свойства счётно компактных пространств

Счётная компактность метризуемых пространств

Компактность в смысле Больцано — Вейерштрасса

Примечания

Комментарии

Источники

Литература

Категории