Сумма случайных величин
Сумма случайных величин — новая случайная величина, значение которой в каждом конкретном опыте равно сумме значений исходных (слагаемых) величин; для двух случайных величин X и Y их сумма обозначается Z = X + Y[1]. Понятие используется в теории вероятностей и математической статистике для описания результатов, получающихся при одновременном действии нескольких случайных факторов, и лежит в основе центральной предельной теоремы[2].
Определение
Пусть в одном и том же случайном эксперименте определены две случайные величины X и Y. Их суммой называют случайную величину Z = X + Y, которая в каждом элементарном исходе принимает значение, равное сумме значений X и Y в этом же исходе[1]. Аналогично определяется сумма любого конечного числа случайных величин X1 + X2 + … + Xn[3].
В качестве примера рассматривают подбрасывание двух игральных костей: если X — число очков, выпавшее на первой кости, а Y — на второй, то сумма Z = X + Y задаёт общее число очков, выпавшее при одном броске пары костей[1].
Закон распределения суммы дискретных величин
Для дискретных случайных величин закон распределения суммы Z = X + Y строится по значениям и вероятностям слагаемых[1]. Стандартная схема включает три шага:
- Выписывают все возможные значения xi величины X и все возможные значения yj величины Y. Удобно располагать их в таблице, где в первом столбце указаны значения xi, а в первой строке — значения yj[1].
- В ячейку таблицы, стоящую на пересечении строки xi и столбца yj, записывают соответствующую сумму xi + yj; полученное множество значений — множество возможных значений случайной величины Z[1].
- Для каждого значения zk суммы находят вероятность P(Z = zk), складывая вероятности всех пар (xi, yj), для которых xi + yj = zk[3].
Пример: сумма очков на двух игральных костях
Пусть X и Y — числа очков на первой и второй симметричных игральных костях. Обе величины принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с одинаковой вероятностью 16, а всего возможно 36 равновероятных исходов[1]. Значения суммы Z = X + Y для каждой пары приведены в таблице.
| X \ Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Случайная величина Z = X + Y принимает все целые значения от 2 до 12. Значение 2 достигается в одной ячейке из 36, поэтому P(Z = 2) = 136; значение 3 — в двух ячейках, поэтому P(Z = 3) = 236 = 118, и так далее. Итоговый закон распределения имеет вид[1]:
| zk | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(Z = zk) | 136 | 118 | 112 | 19 | 536 | 16 | 536 | 19 | 112 | 118 | 136 |
Пример: две несимметричные монеты
Подбрасывают две несимметричные монеты. Вероятность выпадения орла на первой монете равна 0,3, на второй — 0,4. Пусть X — число орлов на первой монете, Y — на второй; тогда Z = X + Y — общее число выпавших орлов[1].
Случайная величина X принимает значения 0 и 1 с вероятностями P(X = 0) = 0,7 и P(X = 1) = 0,3; величина Y — значения 0 и 1 с вероятностями P(Y = 0) = 0,6 и P(Y = 1) = 0,4. Возможные значения суммы приведены в таблице.
| X \ Y | 0 (P = 0,6) | 1 (P = 0,4) |
|---|---|---|
| 0 (P = 0,7) | 0 | 1 |
| 1 (P = 0,3) | 1 | 2 |
Поскольку величины X и Y независимы, вероятность совместного значения равна произведению вероятностей: P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y)[3]. Отсюда:
- P(Z = 0) = P(X = 0) · P(Y = 0) = 0,7 · 0,6 = 0,42;
- P(Z = 2) = P(X = 1) · P(Y = 1) = 0,3 · 0,4 = 0,12;
- P(Z = 1) = P(X = 1) · P(Y = 0) + P(X = 0) · P(Y = 1) = 0,3 · 0,6 + 0,7 · 0,4 = 0,18 + 0,28 = 0,46.
Итоговый закон распределения:
| zk | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(Z = zk) | 0,42 | 0,46 | 0,12 |
Свойства числовых характеристик
Для работы со случайными величинами чаще применяют не полные таблицы распределений, а числовые характеристики: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (меру разброса)[4].
Математическое ожидание суммы
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий[1]:
- M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Это равенство выполнено и для зависимых случайных величин, а также обобщается на конечную сумму: M(X1 + X2 + … + Xn) = M(X1) + M(X2) + … + M(Xn)[3].
Дисперсия суммы
Для дисперсии суммы вид формулы зависит от того, независимы ли слагаемые[5]. Если случайные величины X и Y независимы, то
- D(X + Y) = D(X) + D(Y).
Для зависимых величин к сумме дисперсий добавляется удвоенная ковариация:
- D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2 · cov(X, Y).
Центральная предельная теорема
Одним из важных результатов теории вероятностей о суммах случайных величин является центральная предельная теорема. Согласно ей, если складывать большое число независимых одинаково распределённых случайных величин, обладающих конечной дисперсией, то распределение суммы после соответствующей нормировки приближается к нормальному распределению независимо от вида распределения отдельных слагаемых[2].
Наглядно теорема означает, что при увеличении числа слагаемых график распределения суммы стремится к симметричной колоколообразной кривой нормального закона. Этим объясняется распространённость нормального распределения при описании массовых явлений: погрешностей измерений, биометрических характеристик человека и других признаков, формирующихся под действием большого числа независимых случайных факторов[2].
⚠️Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ
Для успешной сдачи ЕГЭ по теме «Сумма случайных величин» необходимо усвоить, что случайная величина — это величина, принимающая числовые значения в зависимости от исходов эксперимента, и её сумма (для двух и более величин) — это новая случайная величина, каждый возможный исход которой получается сложением соответствующих значений слагаемых. Ключевое правило — математическое ожидание суммы всегда равно сумме математических ожиданий (независимо от зависимости величин): E(X+Y)=E(X)+E(Y).
Для дисперсии правило иное: D(X+Y)=D(X)+D(Y) только для независимых случайных величин; если они зависимы, то добавляется удвоенная ковариация: D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2⋅Cov(X,Y).
В задачах ЕГЭ чаще всего рассматривают сумму двух независимых случайных величин, например, сумму очков на двух игральных костях, или общее число успехов в двух независимых экспериментах (где каждая величина имеет биномиальное распределение). Важно уметь находить распределение суммы (например, для двух кубиков — таблицу 6×6, где значения от 2 до 12 с разными вероятностями), вычислять среднее значение и дисперсию суммы, а также понимать, что при суммировании большого числа одинаково распределённых независимых величин распределение суммы приближается к нормальному (центральная предельная теорема — это знание может встретиться в контекстных задачах или при обсуждении свойств выборочного среднего). Также помните, что сумма случайных величин используется в статистике: выборочное среднее — это сумма всех наблюдений, делённая на их число, поэтому математическое ожидание среднего равно генеральному среднему, а дисперсия среднего равна D(X)/n (для независимых наблюдений).
Систематизируйте через блок «определение суммы → математическое ожидание (аддитивно) → дисперсия (аддитивна только для независимых) → распределение суммы (таблицы/формулы)» — и тогда любые задачи на сумму случайных величин, включая расчёт вероятностей для суммы результатов (например, в игральных костях или в задачах на средний балл), вы решите уверенно.
Примечания
Литература
- Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Вероятность и статистика. 10-11 классы. Базовый и углублённый уровни. — М.: Просвещение, 2026.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 7-е изд., испр. — М.: УРСС, 2001.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения: в 2 томах. Пер. с англ. — М.: Мир, 1984.
- Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. — М.: МЦНМО, 2022.
- Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Юрайт, 2024.
|
Правообладателем данного материала является АНО «Интернет-энциклопедия «РУВИКИ». Использование данного материала на других сайтах возможно только с согласия АНО «Интернет-энциклопедия «РУВИКИ». |