Связь между давлением и средней кинетической энергией теплового движения молекул идеального газа

Ключевую роль в описании идеального газа играет средняя кинетическая энергия его частиц.

Частицы газа двигаются с разными скоростями. Пусть в газе содержится ${\displaystyle N}$ частиц, скорости которых равны ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle v_{2}}$, …, ${\displaystyle v_{N}}$. Масса каждой частицы равна ${\displaystyle m_{0}}$.

Кинетические энергии частиц определяются формулами:

${\displaystyle E_{1}=m_{0}{\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$, ${\displaystyle E_{2}=m_{0}{\frac {v_{2}^{2}}{2}}}$, …, ${\displaystyle E_{N}=m_{0}{\frac {v_{N}^{2}}{2}}}$.

Средняя кинетическая энергия E частиц газа — это среднее арифметическое их кинетических энергий: ${\displaystyle E={\frac {E_{1}+E_{2}+...+E_{N}}{N}}={\frac {1}{N}}(m_{0}{\frac {v_{1}^{2}}{2}}+m_{0}{\frac {v_{2}^{2}}{2}}+...m_{0}{\frac {v_{N}^{2}}{2}}={\frac {m_{0}}{2}}{\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{N}^{2}}{N}})}$.

Последний множитель — это средний квадрат скорости, обозначаемый просто ${\displaystyle v^{2}}$:

${\displaystyle v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{N}^{2}}{N}}}$.

Тогда формула для средней кинетической энергии приобретает привычный вид:

${\displaystyle E=m_{0}{\frac {v^{2}}{2}}}$ (1).

Корень из среднего квадрата скорости называется средней квадратической скоростью:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{N}^{2}}{N}}}}$.

Cвязь между давлением газа и средней кинетической энергией его частиц называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Эта связь выводится из законов механики и имеет вид:

${\displaystyle p={\frac {2}{3}}nE}$, где n—концентрация газа (число частиц в единице объёма). С учётом формулы (1) также имеем:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}m_{0}nv^{2}}$.

Здесь ${\displaystyle m_{0}n=\rho }$. Получаем третью разновидность основного уравнения:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}\rho v^{2}}$.