Связь между давлением и средней кинетической энергией теплового движения молекул идеального газа (ЕГЭ-ОГЭ)

Частицы газа перемещаются с различными скоростями. Предположим, что в газе находится ${\displaystyle N}$ частиц со скоростями ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle v_{2}}$, …, ${\displaystyle v_{N}}$. Масса каждой частицы равна ${\displaystyle m_{0}}$.

Кинетические энергии отдельных частиц выражаются следующими формулами:

${\displaystyle E_{1}=m_{0}{\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$, ${\displaystyle E_{2}=m_{0}{\frac {v_{2}^{2}}{2}}}$, …, ${\displaystyle E_{N}=m_{0}{\frac {v_{N}^{2}}{2}}}$.

Средняя кинетическая энергия ${\displaystyle E}$ частиц газа определяется как среднее арифметическое их кинетических энергий: ${\displaystyle E={\frac {E_{1}+E_{2}+...+E_{N}}{N}}={\frac {1}{N}}(m_{0}{\frac {v_{1}^{2}}{2}}+m_{0}{\frac {v_{2}^{2}}{2}}+...m_{0}{\frac {v_{N}^{2}}{2}}={\frac {m_{0}}{2}}{\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{N}^{2}}{N}})}$.

Упомянутый множитель представляет собой средний квадрат скорости и обозначается ${\displaystyle v^{2}}$:

${\displaystyle v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{N}^{2}}{N}}}$.

В результате формула средней кинетической энергии принимает знакомый вид:

${\displaystyle E=m_{0}{\frac {v^{2}}{2}}}$ (1).

Квадратный корень из среднего квадрата скорости носит название средней квадратической скорости:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{N}^{2}}{N}}}}$.

Связь давления газа с средней кинетической энергией его частиц известна как основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа. Она выводится на основе законов механики и имеет вид:

${\displaystyle p={\frac {2}{3}}nE}$, где n—концентрация газа (число частиц в единице объёма). Учитывая формулу (1), получаем также:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}m_{0}nv^{2}}$.

Поскольку ${\displaystyle m_{0}n=\rho }$, вводя обозначение, получаем третью разновидность основного уравнения^[1]:

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}\rho v^{2}}$.