Рациональные уравнения

Рациона́льное уравне́ние — это такой вид уравнения в которой левая и правая части — рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень. Любое рациональное уравнение сводится к алгебраическому. В записи уравнения отсутствуют радикалы, логарифмы и тригонометрические функции.

Иногда это уравнение вида ${\displaystyle a(x)=b(x)}$, где ${\displaystyle a(x)}$ и ${\displaystyle b(x)}$ — рациональные выражения. Рациональное выражение состоит из слагаемых, которые можно представить в виде конечной обыкновенной или десятичной дроби.

Целые (или алгебраические) рациональные уравнения (все переменные находятся в числителях). Область допустимых значений — все действительные числа.

Методы решения:

1. Разложение на множители. Если произведение множителей равно нулю, то каждый из множителей можно приравнять к нулю и найти все корни уравнения,
2. Замена переменной. Если уравнение можно преобразовать таким образом, чтобы в нём присутствовало несколько одинаковых выражений, содержащих переменную, то их можно заменить новой переменной. Затем необходимо решить уравнение относительно введённой переменной, после чего найти исходную переменную. Таким способом можно решать уравнения с иррациональными выражениями, сводя их к рациональному виду,

Дробно-рациональные уравнения (переменная находится в одном из делителей). При решении такого уравнения необходимо учитывать область допустимых значений, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Порядок решения:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение,
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель,
3. решить полученное целое уравнение (см. выше),
4. исключить из его корней те, которые обращают знаменатель в нуль.