Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными

Просте́йшая систе́ма уравне́ний (система линейных уравнений с постоянными коэффициентами, не равными нулю) с двумя неизвестными имеет следующий вид:

${\displaystyle {\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\\\end{cases}}}$

Решить систему уравнения — значит найти такие значения переменных, при которых все уравнения одновременно обращаются в верные равенства.

Существуют аналитические и графические подходы к решению систем уравнений.

Подстановка

Чтобы решить систему методом подстановки, необходимо в одном из уравнений выразить одну из неизвестных и подставить её во второе уравнение.

${\displaystyle x={\frac {c-by}{a}}}$;

${\displaystyle d{\frac {c-by}{a}}+ey=f}$.

После данной подстановки одно из уравнений будет иметь одну неизвестную, после чего уравнение решается известным способом. Когда одна из переменных найдена, её значение подставляется в первое уравнение и, таким образом, находится и вторая переменная.

Метод сложения или вычитание уравнений

Данный метод позволяет избавиться от одной из неизвестных. Например, чтобы избавиться от переменной «х», необходимо первое уравнение почленно домножить на d, а второе почленно домножить на a. Получаем одинаковые коэффициенты при переменной «х». Если вычесть одно уравнение из другого, удастся избавиться от одной неизвестной. Дальше уравнение решается известными способами.

Для каждого из заданных уравнений можно построить свой график на плоскости — для системы простейших линейных уравнений это будут прямые. Такая система уравнений может:

• иметь единственное решение, которым будут ордината и абсцисса точки пересечения графиков;
• иметь бесконечное множество решений, если графики функций совпадают, а сами уравнения тождественны друг другу;
• не иметь решений, если графики не имеют точек пересечения и представляют собой параллельные прямые.

Пример:

Решим систему уравнений графическим способом:

${\displaystyle {\begin{cases}2x-y=8\\3x+2y=5\\\end{cases}}}$

Решение:

Построим графики обоих уравнений по двум точкам:

Построенные прямые пересекаются в точке (3; −2). Проведём проверку, подставив значения ${\displaystyle x=3}$ и ${\displaystyle y=-2}$ в систему. Получим верные равенства.

Ответ: (3; −2).