Применение производной к исследованию функций и построению графиков (ЕГЭ-ОГЭ)

Если ${\displaystyle f'(x)>0}$ для всех точек некоторого интервала, то функция на нём возрастает; если же ${\displaystyle f'(x)<0}$ во всех точках интервала, то она убывает.

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет экстремум в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то её производная в этой точке либо равна нулю, либо бесконечна, либо не определяется.

Точки, в которых производная функции обнуляется или не существует, называют критическими точками этой функции. При этом все точки экстремума функции являются её критическими точками, но не каждая критическая точка соответствует экстремуму.

Внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными, а внутренние точки, где функция остаётся непрерывной, но производная не определяется, — критическими.

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна и дифференцируема на промежутке ${\displaystyle X}$ и имеет внутри этого промежутка стационарную или критическую точку ${\displaystyle x=x_{0}}$ (в которой она может быть недифференцируема). Тогда:

1. если в некоторой окрестности при ${\displaystyle x<x_{0}}$ выполняется ${\displaystyle f'(x)<0}$, а при ${\displaystyle x>x_{0}}$ — ${\displaystyle f'(x)>0}$, то ${\displaystyle x=x_{0}}$ является точкой локального минимума функции ${\displaystyle y=f(x)}$;
2. если в некоторой окрестности при ${\displaystyle x<x_{0}}$ выполняется ${\displaystyle f'(x)>0}$, а при ${\displaystyle x>x_{0}}$ — ${\displaystyle f'(x)<0}$, то ${\displaystyle x=x_{0}}$ является точкой локального максимума функции ${\displaystyle y=f(x)}$;
3. если в некоторой окрестности вокруг ${\displaystyle x_{0}}$ знак производной не меняется ни слева, ни справа, то в точке ${\displaystyle x=x_{0}}$ экстремума нет.

Для определения максимума и минимума функции, непрерывной на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, достаточно вычислить её значения в граничных точках и во всех критических точках интервала ${\displaystyle (a;b)}$, а затем из полученного множества выбрать наибольшее и наименьшее.

1. Вычислить производную ${\displaystyle f'(x)}$.
2. Определить стационарные (${\displaystyle f'(x)=0}$) и критические (${\displaystyle f'(x)}$ не существует) точки функции ${\displaystyle f(x)}$.
3. Нанести стационарные и критические точки на числовую прямую и установить знак производной на полученных промежутках.
4. На основании необходимых и достаточных условий экстремума сделать выводы о монотонности функции и наличии её экстремумов.

Порядок действий:

1. найти область определения функции,
2. найти область значения функции,
3. исследовать функцию на чётность/нечётность и периодичность,
4. найти точки пересечения графика функции с осями координат,
5. определить промежутки знакопостоянства функции,
6. вычислить производную функции,
7. найти точки минимума и максимума функции,
8. определить промежутки монотонности функции,
9. найти наибольшее и наименьшее значения функции,
10. вычислить вторую производную функции,
11. определить промежутки выпуклости и вогнутости функции,
12. найти пределы функции на концах области определения,
13. при необходимости найти значения функции в дополнительных точках,
14. построить график функции.

Необходимо определить максимальное значение функции ${\displaystyle y=59x+56\sin x+42}$ на отрезке ${\displaystyle [{-{\frac {\pi }{2}}};0]}$.

Решение:

Вычислим производную исходной функции:

${\displaystyle y'=59+56\cos x}$

Поскольку ${\displaystyle \cos x\leqslant 1}$ при любых значениях аргумента, следует:

${\displaystyle y'\geqslant 1}$ при всех ${\displaystyle x}$.

Таким образом функция возрастает на всей числовой прямой, и её наибольшее значение на заданном отрезке достигается в правой границе, то есть при ${\displaystyle x=0}$.

Вычислим значение функции в этой точке:

${\displaystyle y(0)=59\cdot 0+56\cdot \sin 0+42=42}$.

Ответ: 42.

Необходимо исследовать функцию и построить её график:

${\displaystyle y={\frac {5x^{2}+x+1}{x}}}$.

1. Область определения: ${\displaystyle x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$.

2. Область значения: ${\displaystyle y\in (-\infty ,1-2{\sqrt {5}}]\cup [1+2{\sqrt {5}},+\infty )}$.

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной и не периодична.

4. График функции не пересекает оси координат.

5. При ${\displaystyle x\in (-\infty ,0)}$ функция принимает отрицательные значения, а при ${\displaystyle x\in (0,+\infty )}$ — положительные.

6. Вычислим производную:

${\displaystyle y'={\frac {10x^{2}+x-5x^{2}-x-1}{x^{2}}}={\frac {5x^{2}-1}{x^{2}}}}$.

7. Решим уравнение производной:

${\displaystyle {\frac {5x^{2}-1}{x^{2}}}=0}$,

при ${\displaystyle x\neq 0}$ получаем ${\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}}}$.

8. Функция возрастает на промежутках ${\displaystyle x\in (-\infty ,-{\frac {\sqrt {5}}{5}})\cup ({\frac {\sqrt {5}}{5}},+\infty )}$ и убывает на ${\displaystyle x\in (-{\frac {\sqrt {5}}{5}},0)\cup (0,{\frac {\sqrt {5}}{5}})}$.

9. Наибольшее и наименьшее значения функции:

${\displaystyle y({\frac {\sqrt {5}}{5}})=1+2{\sqrt {5}}}$ — наибольшее значение,

${\displaystyle y(-{\frac {\sqrt {5}}{5}})=1-2{\sqrt {5}}}$ — наименьшее значение.

10. Вторая производная:

${\displaystyle y''={\frac {10x^{3}-10x^{3}+2x}{x^{4}}}={\frac {2}{x^{3}}}}$.

11. Определим интервалы выпуклости и вогнутости:

${\displaystyle {\frac {2}{x^{3}}}=0}$, при ${\displaystyle x\neq 0}$.

С помощью метода интервалов получаем, что функция выпукла при ${\displaystyle x\in (-\infty ,0)}$ и вогнута при ${\displaystyle x\in (0,+\infty )}$.

12. Пределы функции на границах области определения:

${\displaystyle \lim _{x\to 0-0}y=-\infty }$, ${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}y=+\infty }$, ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }y=-\infty }$, ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }y=+\infty }$.

13. Построим график функции: