Метод интервалов
Ме́тод интерва́лов — это метод решения дробно-рациональных неравенств вида , где на месте знака могут стоять , , и другие, основанный на разбиении числовой прямой на интервалы, на каждом из которых выражение сохраняет свой знак[1].
В методе интервалов числовая прямая разбивается на промежутки, среди которых могут быть лучи или числовая прямая. Ниже в примерах решается квадратное неравенство: двумя точками числовая прямая разделена на луч, интервал и луч.
Решение неравенств методом интервалов
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. Для определения верности неравенства нужно найти его решение — значение переменной, при подстановке которого выражение становится верным.
Решить неравенство — значит найти множество, для которого оно выполняется. При этом важно обратить внимание на знак выражения неравенства.
Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ . При этом «>» и «<» являются строгими знаками, а «≥» и «≤» — нестрогими.
При решении неравенств в итоговые интервалы (промежутки на числовой прямой, ограниченные двумя различными числами) включают граничные точки. При строгих знаках выражения точки включают в итоговые промежутки, при нестрогих — нет.
- Перенос всех частей неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0.
- Поиск нулей функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.
- Изображение числовой прямой с отмечанием на ней всех полученных корней. Таким образом, числовая прямая разобьётся на интервалы.
- Определение знаков на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале. При этом знаки расставляются на оси, начиная справа[2].
Определение знаков при решении неравенств методом интервалов
При решение неравенств важно помнить, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует[3].
Рассмотрим функцию y=x² + 2x − 3. Её графиком служит парабола, пересекающая ось X в точках −3 и 1. Ветви параболы направлены вверх. На интервалах x < −3 и x > 1 парабола идёт выше оси X; там y > 0 и стоит знак плюс. На интервале −3 < x < 1 парабола ниже оси X; там y < 0 и стоит знак минус[4].
- Если корень неравенства повторяется нечётное количество раз (то есть его степень нечётная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.
- Если корень неравенства повторяется чётное количество раз (его степень чётная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется.
- Если a > 0, последовательность знаков: +, −, +.
- Если a < 0, последовательность знаков: −, +, −.
Примечания
Литература
- Гумеров И. С. Один из способов изучения обобщённого метода интервалов // Школьные технологии. 2017. с. 71—73.
- Ляхова Н. Е. Основные положения построения курса по выбору «Метод интервалов, метод областей и их приложения» // Вестник Таганрогского института имени А. П. Чехова. 2013.
- Абасов Р. З. Рациональный вариант метода интервалов при решении некоторых задач с модулем // Вестник Томского государственного педагогического университета. 2013. 8 (136). с. 186—191.