Преобразования пространства

Движениями, или изометриями, называются преобразования, сохраняющие расстояния между любыми двумя точками^[1]. К движениям пространства относятся, в частности:

• Параллельный перенос;
• поворот вокруг оси;
• центральная симметрия;
• симметрия относительно плоскости;
• композиции движений.

Преобразования подобия сохраняют углы и отношения соответствующих расстояний, а все расстояния изменяют в одно и то же положительное число раз^[1].

Аффинные преобразования сохраняют прямые и параллельность прямых, но в общем случае не сохраняют расстояния и углы^[4].

Проективные преобразования сохраняют инцидентность и переводят прямые в прямые; параллельность при этом в общем случае не сохраняется^[5].

В топологии рассматриваются гомеоморфизмы — взаимно-однозначные непрерывные отображения с непрерывным обратным отображением. Они сохраняют топологические свойства объектов, но не обязаны сохранять расстояния, углы или прямолинейность.

Точка ${\displaystyle M}$ называется неподвижной при преобразовании ${\displaystyle g}$, если

${\displaystyle g(M)=M.}$

Фигура ${\displaystyle F}$ называется инвариантной при преобразовании ${\displaystyle g}$, если

${\displaystyle g(F)=F.}$^[1]

Следует различать поточечную неподвижность фигуры, когда каждая её точка остаётся на месте, и инвариантность как множества, когда фигура отображается на себя, но отдельные её точки могут переходить в другие точки той же фигуры.

Два преобразования ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ пространства называются равными, если для каждой точки ${\displaystyle M}$ пространства выполняется

${\displaystyle g_{1}(M)=g_{2}(M).}$^[1]

Для двух преобразований ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ их композицией называется преобразование ${\displaystyle g_{2}\circ g_{1}}$, определяемое равенством

${\displaystyle (g_{2}\circ g_{1})(M)=g_{2}(g_{1}(M)).}$

Таким образом, в композиции ${\displaystyle g_{2}\circ g_{1}}$ сначала применяется преобразование ${\displaystyle g_{1}}$, а затем ${\displaystyle g_{2}}$^[1].

Если

${\displaystyle g_{1}(M)=M',\qquad g_{2}(M')=M'',}$

то

${\displaystyle (g_{2}\circ g_{1})(M)=g_{2}(g_{1}(M))=M''.}$

Композиция преобразований в общем случае некоммутативна:

${\displaystyle g_{2}\circ g_{1}\neq g_{1}\circ g_{2}.}$^[1]

Центральной симметрией пространства относительно точки ${\displaystyle O}$ называется преобразование, при котором каждая точка ${\displaystyle M}$ отображается в точку ${\displaystyle M'}$, для которой точка ${\displaystyle O}$ является серединой отрезка ${\displaystyle MM'}$^[1].

Если центр симметрии совпадает с началом координат, то ${\displaystyle M(x,y,z)\longmapsto M'(-x,-y,-z),}$ то есть ${\displaystyle {\begin{cases}x'=-x,\\y'=-y,\\z'=-z.\end{cases}}}$

Центральная симметрия является движением второго рода и совпадает со своим обратным преобразованием: ${\displaystyle Z_{O}^{-1}=Z_{O},\qquad Z_{O}^{2}=\operatorname {id} .}$^[1]

Единственной неподвижной точкой центральной симметрии является её центр. Каждая прямая и каждая плоскость, проходящие через центр симметрии, являются инвариантными как множества.

Композиция центральных симметрий с центрами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, выполняемых сначала относительно ${\displaystyle A}$, а затем относительно ${\displaystyle B}$, является параллельным переносом: ${\displaystyle Z_{B}\circ Z_{A}=T_{2{\overrightarrow {AB}}}.}$

Симметрией относительно плоскости ${\displaystyle \alpha }$ называется преобразование, при котором каждая точка пространства отображается в точку, симметричную ей относительно плоскости ${\displaystyle \alpha }$^[1].

Симметрия относительно плоскости обозначается ${\displaystyle S_{\alpha }}$. Она является движением второго рода и инволюцией: ${\displaystyle S_{\alpha }^{-1}=S_{\alpha },\qquad S_{\alpha }^{2}=\operatorname {id} .}$^[1]

Все точки плоскости ${\displaystyle \alpha }$ являются неподвижными.

Для координатной плоскости ${\displaystyle Oxy}$, задаваемой уравнением ${\displaystyle z=0}$, отражение имеет вид ${\displaystyle (x,y,z)\longmapsto (x,y,-z),}$ то есть ${\displaystyle {\begin{cases}x'=x,\\y'=y,\\z'=-z.\end{cases}}}$

Параллельным переносом на вектор ${\displaystyle {\vec {a}}}$ называется преобразование ${\displaystyle T_{\vec {a}}\colon M\mapsto M',}$ для которого ${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}={\vec {a}}.}$^[1]

Если ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z}),}$ то ${\displaystyle {\begin{cases}x'=x+a_{x},\\y'=y+a_{y},\\z'=z+a_{z}.\end{cases}}}$

Для ненулевого вектора ${\displaystyle {\vec {a}}\neq {\vec {0}}}$ параллельный перенос не имеет неподвижных точек. Он сохраняет ориентацию и является движением первого рода^[1].

Прямая, параллельная вектору переноса, отображается на себя как множество. Плоскость, содержащая направление вектора переноса, также отображается на себя как множество.

Поворотом пространства вокруг ориентированной прямой ${\displaystyle l}$ на угол ${\displaystyle \varphi }$ называется движение, при котором каждая точка оси ${\displaystyle l}$ остаётся неподвижной, а в каждой плоскости, перпендикулярной ${\displaystyle l}$, индуцируется плоский поворот на угол ${\displaystyle \varphi }$ вокруг точки пересечения этой плоскости с осью^[1].

Поворот обозначается ${\displaystyle R_{l,\varphi }.}$

Осевая симметрия пространства является частным случаем поворота на угол ${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle S_{l}=R_{l,\pi }.}$

Она является движением первого рода, то есть сохраняет ориентацию.

Осевая симметрия совпадает со своим обратным преобразованием: ${\displaystyle S_{l}^{-1}=S_{l},\qquad S_{l}^{2}=\operatorname {id} .}$

Все точки оси ${\displaystyle l}$ являются неподвижными.

При симметрии относительно оси ${\displaystyle Oz}$ ${\displaystyle (x,y,z)\longmapsto (-x,-y,z),}$ то есть ${\displaystyle {\begin{cases}x'=-x,\\y'=-y,\\z'=z.\end{cases}}}$

Гомотетия с центром ${\displaystyle O}$ и коэффициентом ${\displaystyle k\neq 0}$ — преобразование, при котором ${\displaystyle {\overrightarrow {OM'}}=k\,{\overrightarrow {OM}}.}$^[1]

Гомотетию можно обозначать ${\displaystyle H_{O,k}.}$

Если центр гомотетии совпадает с началом координат, то ${\displaystyle (x,y,z)\longmapsto (kx,ky,kz).}$

Подобием с коэффициентом ${\displaystyle k>0}$ называется преобразование, при котором для любых точек ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |A'B'|=k|AB|.}$^[1]

При подобии сохраняются углы и отношения длин соответствующих отрезков, а все расстояния умножаются на один и тот же коэффициент ${\displaystyle k}$.

Подобие пространства с коэффициентом ${\displaystyle k}$ может быть представлено как композиция движения и гомотетии с тем же коэффициентом^[1].

К композициям движений пространства относятся, в частности^[1]:

• Скользящая симметрия — композиция отражения относительно плоскости ${\displaystyle \alpha }$ и параллельного переноса на вектор, параллельный этой плоскости.
• Зеркальный поворот — композиция поворота вокруг оси и отражения относительно плоскости, перпендикулярной этой оси.
• Винтовое движение — композиция поворота вокруг оси и параллельного переноса на вектор, параллельный этой оси.

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ

Для успешной сдачи ЕГЭ по теме «Преобразования пространства» необходимо усвоить, что это геометрические отображения трёхмерного пространства на себя, сохраняющие или изменяющие расстояния и взаимное расположение объектов, и включают в себя основные виды движений (перемещений с сохранением расстояний) — параллельный перенос, поворот вокруг оси, осевая и зеркальная симметрия, а также преобразования подобия (гомотетия с изменением размеров в заданное число раз).

Ключевое для ЕГЭ — различать движения (сохраняют расстояния, углы, площади и объёмы) и преобразования подобия (сохраняют только углы и отношения расстояний, пропорционально меняя масштаб). Наиболее важным является применение преобразований к решению задач: находить образы точек, прямых и плоскостей при известных преобразованиях, использовать композиции преобразований (последовательное выполнение нескольких движений) и использовать симметрию для упрощения вычислений (например, при нахождении расстояний или доказательствах равенств).

В заданиях ЕГЭ могут встретиться: задачи на построение сечений куба или пирамиды, используя симметрию, нахождения координат образа точки при параллельном переносе или повороте, а также задачи на использование гомотетии для доказательства подобия фигур (например, при построении сечений плоскостями).

Систематизируйте через блок «виды преобразований (движения: перенос, поворот, симметрия; подобие: гомотетия) → свойства (сохранение расстояний/углов/масштаба) → композиции → применение (поиск образов, упрощение расчётов)».