Представление о правильных многогранниках

Пра́вильные многогра́нники — это особый класс геометрических тел, каждая грань которых представляет собой правильный многоугольник, а все грани, рёбра и углы между ними равны. Эти фигуры обладают высокой степенью симметрии и играют важную роль в геометрии, математическом моделировании. В пространстве существует всего пять правильных многогранников, известных как платоновы тела.

Тетраэдр — это правильный многогранник, который имеет грани в виде треугольников, именно поэтому в каждой вершине такой фигуры сходится 3 ребра.

Характеристика тетраэдра:

• 4 вершины;
• 4 грани;
• 6 рёбер.

Куб (гексаэдр) — многогранник, гранями которого является квадрат.

Характеристики:

• 8 вершин;
• 12 ребер;
• 6 граней.

Октаэдр — правильный многогранник, который так же имеет грани в виде правильных треугольников, однако, в каждой вершине сходится по четыре ребра.

Характеристики октаэдра:

• 6 вершин;
• 8 граней;
• 12 рёбер.

Додекаэдр — многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники.

Характеристика:

• 12 граней;
• 20 вершин;
• 30 рёбер.

Икосаэдр — многогранник, гранями которого являются равносторонние треугольники.

Имеется два тела, одно выпуклое и одно невыпуклое, оба из которых называются правильными икосаэдрами. Оба имеют 30 рёбер и 20 граней в виде правильных треугольников, которые сходятся по 5 в каждой из его 12 вершин. Термин «правильный икосаэдр» обычно относится к выпуклому виду, а невыпуклая форма называется большим икосаэдром.

Два вида правильных икосаэдров

Выпуклый правильный икосаэдр

Большой икосаэдр

Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 2}}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$
куб (гексаэдр)	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 8}$
октаэдр	${\displaystyle {\sqrt {2 \over 3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}}$
додекаэдр	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\varphi }$	${\displaystyle 60{\frac {\varphi }{\xi }}}$	${\displaystyle 20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}}$
икосаэдр	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle \xi \varphi }$	${\displaystyle 20{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}}$