Порядок интегрирования

Задача для исследования — вычисление интеграла формы

${\displaystyle \iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,}$

где D — некоторая двумерная область в плоскости xy. Для некоторых функций f возможно явное интегрирование, но там, где это не так, интеграл иногда можно привести к более простой форме, изменив порядок интегрирования. Сложность этого обмена заключается в определении изменения описания области D.

Метод также применим и к другим кратным интегралам^[1][2].

Иногда, даже если полная оценка затруднена или, возможно, требует численного интегрирования, двойной интеграл может быть сведён к единственному интегрированию, как показано ниже. Сведение к единственному интегрированию делает численную оценку намного проще и эффективнее.

• Главное значение Коши (лат. Vp или v.p. — valeur principale) — метод приписывания конечного значения расходящемуся несобственному интегралу путём симметричного стремления к особенности.
• Повторные интегралы — последовательное вычисление нескольких определенных интегралов от функции нескольких переменных.
• Теорема I — теорема о перестановке порядка интегрирования в несобственных интегралах (для положительных функций). В математическом анализе она также известна как теорема Тонелли для несобственных интегралов.
• Теорема II — теорема о перестановке порядка интегрирования при абсолютной сходимости, или теорема Фубини.

Рассмотрим повторный интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx\ }$,

который мы напишем, используя префиксную нотацию:

${\displaystyle \int _{a}^{z}dx\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy}$.

В этом выражении второй интеграл вычисляется первым по y, а x остаётся постоянным — полоса шириной dx интегрируется первой по направлению y (полоса шириной dx в направлении x интегрируется в отношении к переменной y вдоль направления y), складывая бесконечное количество прямоугольников шириной dy вдоль оси y. Это формирует трёхмерный срез шириной dx вдоль оси x, от y = a до y = x вдоль оси y и в направлении z = f (x, y). Стоит обратить внимание, что если толщина dx бесконечно мала, x изменяется бесконечно мало только на срезе. Мы можем считать, что x — константа^[3]. Это интегрирование показано на рисунке 1, но оно неудобно, особенно когда функцию h(y) интегрировать нелегко. Интеграл можно свести к единственному интегрированию, изменив порядок интегрирования, как показано на правой панели рисунка. Чтобы выполнить этот обмен переменными, полоса ширины dy сначала интегрируется от линии x = y до предела x = z, а затем результат интегрируется от y = a до y = z, в результате чего получается:

${\displaystyle \int _{a}^{z}\ dx\ \int _{a}^{x}\ h(y)\ dy\ =\int _{a}^{z}\ h(y)\ dy\ \ \int _{y}^{z}\ dx=\int _{a}^{z}\ \left(z-y\right)h(y)\,dy\ .}$

Этот результат можно рассматривать как пример формулы для интегрирования по частям, как указано ниже^[4]:

${\displaystyle \int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx\!}$

Замена:

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}\ h(y)\,dy{\text{ and }}g'(x)=1\ .}$

Что даёт результат.

Для применения к интегралам в смысле главного значения см. Уиттакер и Ватсон^[5], Гахова^[6], Лу^[7], Цвиллингер^[8]а. См. также обсуждение преобразования Пуанкаре-Бертрана у Оболашвили^[9]. Пример, когда порядок интеграции не может быть изменён, дал Канвал^[10]:

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,}$

в то время как:

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .}$

Вторая форма вычисляется с использованием метода неопределённых коэффициентов и вычисления с использованием формулы Сохоцкого-Племеля^[11]:

${\displaystyle \int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .}$

Обозначение ${\displaystyle \int _{L}^{*}}$ указывает главное значение Коши. См. Канвал^[10].

Обсуждение базиса для изменения порядка интегрирования можно найти в книге «Анализ Фурье» Т. В. Кёрнера^[12]. Он вводит своё обсуждение с примером, в котором перестановка интегрирования приводит к двум различным ответам, поскольку условия теоремы II ниже не выполняются. Вот пример:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}$

Две основные теоремы, определяющие допустимость обмена, цитируются ниже Чаудри и Зубайр^[13]:

Пример, в котором порядок интегрирования менять нельзя — функция, не удовлетворяющая условиям теоремы Фубини (обычно из-за отсутствия абсолютной интегрируемости).

Это функция на квадрате ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$:

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$.

Если вычислить повторные интегралы, результаты будут разными по знаку:

• Порядок ${\displaystyle dy\,dx}$:

${\displaystyle nt_{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy\right)dx={\frac {\pi }{4}}}$.

• Порядок ${\displaystyle dx\,dy}$:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dx\right)dy=-{\frac {\pi }{4}}}$.

Основные инструменты в системах компьютерной алгебры (СКА):

• Wolfram Mathematica
  • Integrate. Автоматически пытается проверить сходимость. Если функция не интегрируема абсолютно, система может выдать предупреждение или вернуть результат в виде невычисленного интеграла.
  • FunctionContinuous. Позволяет проверить непрерывность функции на заданном интервале (достаточное условие для прямоугольных областей).
  • Reduce / FindInstance. Используются для проверки условий ${\displaystyle |f(x,y)|<M}$ или поиска точек разрыва.
• Maple
  • Пакет Student[MultivariateCalculus]. Содержит команду MultiInt, которая позволяет наглядно менять порядок интегрирования и проверять корректность для учебных и инженерных задач.
  • iscont. Функция для проверки непрерывности выражения на интервале.
• SymPy (Python)
  • integrate(f, (x, a, b), (y, c, d)). При символьном интегрировании SymPy пытается найти первообразную. Прямой автоматической проверки условий Фубини нет, но можно проверить условие ${\displaystyle |\int \int |f|\,dA|<\infty }$ вручную через тот же integrate.

Для практической реализации проверки условий используются следующие алгоритмы:

1. Интервальная арифметика. Для доказательства того, что функция не обращается в бесконечность на компактном множестве.
2. Цилиндрическое алгебраическое разложение (CAD). Применяется в Mathematica для анализа областей определения и поиска сингулярностей (точек, где нарушаются условия интегрируемости).
3. Правило Риша (Risch algorithm). Используется для нахождения символьных первообразных. Если для ${\displaystyle |f|}$ первообразная существует и ограничена, условия Фубини выполнены.