Поризма

Трактат, давший начало этому понятию, — Поризмы Евклида, автора «Начал». Всё, что известно об этом утраченном трактате, содержится в Собрании Паппа Александрийского, который упоминает его наряду с другими геометрическими трактатами и приводит ряд лемм, необходимых для его понимания.^[4] Папп утверждает:

Поризмы всех видов не являются ни теоремами, ни задачами, а занимают промежуточное положение между ними, так что их формулировки могут быть выражены как теоремы или задачи, и, соответственно, некоторые геометры считают их теоремами, а другие — задачами, руководствуясь лишь формой изложения. Однако из определений ясно, что древние геометры лучше понимали различие между этими тремя классами. Древнейшие геометры рассматривали теорему как направленную на доказательство предложенного, задачу — на построение предложенного, а поризму — на нахождение предложенного (εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου).^[4]

Папп далее отмечает, что это последнее определение было изменено некоторыми позднейшими геометрами, которые определяли поризму как «τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος» (то, что не достигает локус-теоремы по (или в) своей гипотезе). Прокл указывает, что слово «поризма» употреблялось в двух значениях. Одно — как «королларий», то есть как результат, не являющийся целью, но вытекающий из теоремы. В другом значении «поризма» не добавляет ничего к определению древних геометров, кроме того, что нахождение центра окружности и нахождение наибольшей общей меры — это поризмы^[5].

С XVII по XIX век эта тема вызывала большой интерес у математиков, и многие геометры пытались восстановить утраченные поризмы. Альбер Жирар в своём Traité de trigonometrie (1626) заявлял о намерении опубликовать реконструкцию. Почти одновременно Пьер Ферма написал небольшой труд под названием Porismatum euclidaeorum renovata doctrina et sub forma isagoges recentioribus geometeis exhibita (см. Œuvres de Fermat, т. I, Париж, 1891); однако два из пяти приведённых им примеров поризм, по крайней мере, не соответствуют классам, выделенным Паппом.^[6]

Роберт Симсон первым внёс существенный вклад в изучение этой темы. Ему удалось объяснить единственные три пропозиции, которые Папп указывает с полной точностью. Это объяснение было опубликовано в «Philosophical Transactions» в 1723 году. Позднее он исследовал тему поризм в целом в труде De porismatibus tractatus; quo doctrinam porismatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor, опубликованном посмертно в сборнике Roberti Simson opera quaedam reliqua (Глазго, 1776).^[6]

Трактат Симсона «De porismatibus» начинается с определений теоремы, задачи, данных, поризмы и локуса. Относительно поризмы Симсон отмечает, что определение Паппа слишком общее, и заменяет его более точными понятиями. Локус, по Симсону, — это разновидность поризмы. Далее приводится латинский перевод заметки Паппа о поризмах и пропозиции, составляющие основную часть трактата. Это тридцать восемь лемм Паппа, относящихся к поризмам, десять случаев пропозиции о четырёх прямых, двадцать девять поризм, две задачи для иллюстрации и некоторые предварительные леммы.^[6]

Мемуары Джона Плейфера («Trans. Roy. Soc. Edin.», 1794, т. III), своего рода продолжение трактата Симсона, были посвящены исследованию вероятного происхождения поризм, то есть шагов, приведших древних геометров к их открытию. Плейфер отмечал, что тщательное исследование всех возможных частных случаев пропозиции показывает: (1) при определённых условиях задача становится невозможной; (2) при других условиях — неопределённой или допускающей бесконечно много решений. Эти случаи можно формулировать отдельно, они занимают промежуточное положение между теоремами и задачами и называются «поризмами». Соответственно, Плейфер определял поризму так: «Пропозиция, утверждающая возможность найти такие условия, при которых определённая задача становится неопределённой или допускает бесчисленное множество решений».^[6]

Хотя это определение поризмы получило наибольшее распространение в Англии, за рубежом, в том числе при поддержке М. Шаля, была принята точка зрения Симсона. Однако в «Journal de mathématiques pures et appliquées» Лиувилля (т. XX, июль 1855) П. Бретон опубликовал «Recherches nouvelles sur les porismes d'Euclide», где дал новый перевод текста Паппа и попытался на этой основе выработать представление о природе поризмы, более соответствующее определениям у Паппа. За этим последовала полемика между Бретоном и А. Ж. В. Винсентом в том же журнале и в «La Science», где последний оспаривал интерпретацию Паппа, данную первым, и выступал в поддержку идеи Схоотена, изложенной в его «Mathematicae exercitationes» (1657), где он называл поризмой секцию. Согласно Схоотену, если различные соотношения между прямыми в фигуре записать в виде уравнений или пропорций, то их всевозможные комбинации и новые уравнения, полученные из них, приводят к открытию множества новых свойств фигуры, и это и есть «поризмы».^[6]

Однако дискуссии между Бретоном и Винсентом, к которым присоединился и C. Housel, не продвинули вперёд работу по восстановлению поризм Евклида, которая осталась для Шаля. Его труд (Les Trois livres de porismes d'Euclide, Париж, 1860) использует весь материал, найденный у Паппа. Однако можно сомневаться, что это успешная реконструкция реального труда Евклида. Поскольку леммы Паппа имеют вторичное отношение к работам, к которым они относятся, маловероятно, что первые семь из тридцати восьми лемм действительно эквивалентны (как считает Шаль) первым семи поризмам Евклида. Кроме того, Шаль, по-видимому, ошибался, начиная книгу с десяти случаев поризмы о четырёх прямых, а не с поризмы о пересечении, полностью сформулированной Паппом, к которой «лемма первой поризмы» относится как к частному случаю.^[6]

Интересную гипотезу о поризмах выдвинул Г. Зёйтен (Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, 1886, гл. VIII). Отметив, что, например, поризма о пересечении остаётся верной, если две фиксированные точки — это точки на конике, а пересекающиеся прямые проходят через конику, а не через фиксированную прямую, Зёйтен предположил, что поризмы были продуктом полностью развитой проективной геометрии коник. Примечательно, что лемма 31 (хотя и не упоминает конику) точно соответствует методу Аполлония для определения фокусов центральной коники (Коники, III. 45–47 с 42). Три поризмы, установленные Диофантом в его Арифметике, являются пропозициями в теории чисел и могут быть сформулированы как «можно найти числа, удовлетворяющие таким-то условиям»; таким образом, они достаточно аналогичны геометрической поризме, как она определена у Паппа и Прокла.^[6]