Полугруппа с делением

Полугруппа с делением — упорядоченная полугруппа ${\displaystyle (S,\cdot ,\leqslant )}$, в которой для любых двух элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ определены правое (${\displaystyle a/b}$) и левое (${\displaystyle b\backslash a}$) частные, причём выполняются условия:

${\displaystyle \forall c\in S\quad c\leqslant a/b\Leftrightarrow c\cdot b\leqslant a}$ (правое; читается «${\displaystyle a}$ над ${\displaystyle b}$»);

${\displaystyle \forall c\in S\quad c\leqslant b\backslash a\Leftrightarrow b\cdot c\leqslant a}$ (левое; читается «${\displaystyle b}$ под ${\displaystyle a}$»).

Правое и левое частные для каждых двух элементов определяются однозначно; если полугруппа коммутативна, то правое и левое частные совпадают.

Примеры:

• натуральные числа с операцией сложения: ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,\geqslant )}$;
• любая импликативная решётка: здесь псевдодополнение играет роль как правого, так и левого частного;
• множество всех подмножеств частично упорядоченной полугруппы ${\displaystyle S}$ с операцией ${\displaystyle \cdot :A\cdot B={\Bigl \{}a\cdot b\mid a\in A,b\in B{\Bigr \}}}$, здесь ${\displaystyle A/B={\Bigl \{}c\in S\mid \{c\}\cdot B\subseteq A{\Bigr \}}}$ (левое — аналогично).