Подобные слагаемые

В данном контексте «слагаемое» — это произведение или частное чисел (так как деление можно рассматривать как умножение на обратное). Слагаемые находятся в одном выражении и соединяются между собой сложением или вычитанием. Например, рассмотрим выражение:

${\displaystyle ax+bx}$

В этом выражении два слагаемых. Заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель — ${\displaystyle x}$. Это означает, что общий множитель можно вынести за скобки, получив

${\displaystyle (a+b)x}$

Если выражение в скобках можно вычислить, то есть если переменные в скобках известны, то проще записать вычисленное значение ${\displaystyle a+b}$ и умножить его на оставшийся неизвестный множитель. Слагаемые, объединённые в выражении общим неизвестным множителем (или несколькими неизвестными множителями), называются подобными слагаемыми.

В качестве примера пусть ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ имеют числовые значения, так что их сумму можно вычислить. Для простоты положим ${\displaystyle a=5}$ и ${\displaystyle b=3}$. Тогда исходное выражение примет вид

${\displaystyle 5x+3x}$

которое можно представить как

${\displaystyle (5+3)x}$

или, что то же самое,

${\displaystyle 8x}$.

Это демонстрирует, что

${\displaystyle 5x+3x=8x}$

Известные значения, стоящие перед неодинаковой частью двух или более слагаемых, называются коэффициентами. Как видно из примера, если в выражении есть подобные слагаемые, их можно объединить, сложив или вычитая (в зависимости от знака) их коэффициенты и сохранив общий множитель. Такое объединение называется приведением подобных слагаемых, и это важный приём при решении уравнений.

Рассмотрим выражение, которое требуется упростить:

${\displaystyle 3(4x^{2}y-6y)+7x^{2}y-3y^{2}+2(8y-4y^{2}-4x^{2}y)}$

Первый шаг при группировке подобных слагаемых — избавиться от скобок. Для этого нужно распределить (умножить) каждое число перед скобками на каждое слагаемое внутри скобок:

${\displaystyle 12x^{2}y-18y+7x^{2}y-3y^{2}+16y-8y^{2}-8x^{2}y}$

Подобные слагаемые в этом выражении — это те, которые имеют точно такой же набор неизвестных множителей. Здесь такими наборами являются ${\displaystyle x^{2}y,}$ ${\displaystyle y^{2},}$ и ${\displaystyle y.}$ По правилу из первого примера, все слагаемые с одинаковым набором неизвестных множителей, то есть все подобные слагаемые, можно объединить, сложив или вычитая их коэффициенты, сохраняя неизвестные множители. Таким образом, выражение примет вид

${\displaystyle 11x^{2}y-2y-11y^{2}}$

Выражение считается упрощённым, когда все подобные слагаемые объединены, и все оставшиеся слагаемые — непохожие. В данном случае все слагаемые имеют разные неизвестные множители, то есть являются непохожими, и выражение полностью упрощено.