Периодичность функции (ЕГЭ-ОГЭ)

Функция называется периоди́ческой с периодом, не равным нулю ${\displaystyle (T\neq 0)}$, если выполняются следующие условия:

1. значения ${\displaystyle (x-T)}$ и ${\displaystyle (x+T)}$ принадлежат области определения функции для любого ${\displaystyle x}$ из её области определения,
2. функция принимает одинаковые значения на ${\displaystyle f(x)=f(x\pm T)}$.

В противном случае функция является апериодической.

Основной период функции — это наименьшее значение положительного действительного числа ${\displaystyle T}$.

Понятие периодичности функции является одним из важнейших математических понятий. Данное свойство функции также получило широкое применение при изучении ряда разделов в физике, а именно колебательного движения, гармонических колебаний, а также для переменного тока, изменяющегося по тригонометрическим законам.

Нет необходимости строить периодическую функцию на всей области её определения (она бесконечна), и следовательно, достаточно рассмотреть функцию на области определения в несколько периодов.

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ имеет наименьший положительный период ${\displaystyle T}$, то функция ${\displaystyle y=f(kx+b)}$ имеет период ${\displaystyle T_{1}={\frac {T}{|k|}}}$

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом ${\displaystyle 2\pi }$ , так как

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом равным ${\displaystyle 2\pi }$

• Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом ${\displaystyle \pi }$.
• Функция ${\displaystyle f(x)=(-1)^{x}}$, определённая на целых числах, является периодической с основным периодом ${\displaystyle 2}$.
• Функция, равная константе ${\displaystyle f(x)=\mathrm {const} }$, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
• Функция Дирихле^[1] является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
• Функция ${\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} }$ является апериодической.