Параметризация Вейерштрасса — Эннепера

Пусть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ будут функциями на полной комплексной плоскости или на единичном диске, где ${\displaystyle g}$ является мероморфной, а ${\displaystyle f}$ является аналитической, таким образом, что ${\displaystyle g}$ имеет полюс порядка ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle f}$ имеет нуль порядка ${\displaystyle 2m}$ (или, эквивалентно, так что произведение ${\displaystyle fg^{2}}$ является голоморфной функцией), и пусть ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ будут константами. Тогда поверхность с координатами ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ является минимальной, где ${\displaystyle x_{k}}$ определяется как вещественная часть комплексного интеграла:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}$

Обратное также верно — любая непланарная минимальная поверхность, определённая над связной областью может быть параметризована таким образом^[1].

Например, поверхность Эннепера имеет параметризацию ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{m}}$.

Модель Вейерштрасса — Эннепера определяет минимальную поверхность ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) на комплексной плоскости (${\displaystyle \mathbb {C} }$). Пусть ${\displaystyle \omega =u+vi}$ (комплексная плоскость как пространство ${\displaystyle uv}$), матрица Якоби поверхности может быть записана как столбец с комплексными элементами:

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}}$

Здесь ${\displaystyle f(\omega )}$ и ${\displaystyle g(\omega )}$ являются голоморфными функциями от ${\displaystyle \omega }$.

Якобиан ${\displaystyle \mathbf {J} }$ представляет два ортогональных касательных к поверхности вектора^[2]:

${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}}$

Нормаль к поверхности задаётся выражением:

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}}$

Якобиан ${\displaystyle \mathbf {J} }$ приводит к ряду важных свойств: ${\displaystyle \mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0.}$

Доказательство можно найти в статье Шарма: Представление Вейерштрасса всегда даёт минимальную поверхность^[3]. Производные могут быть использованы для построения матрицы первой квадратичной формы :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

и матрицы второй квадратичной формы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}}$

Наконец, точка ${\displaystyle \omega _{t}}$ на комплексной плоскости отображается в точку ${\displaystyle \mathbf {X} }$ на минимальной поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}}$

где ${\displaystyle \omega _{0}=0}$ для всех минимальных поверхностей, за исключением минимальной поверхности Коста, где ${\displaystyle \omega _{0}=(1+i)/2}$.

Классические примеры вложенных минимальных поверхностей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с конечной топологией включают плоскость, катеноид, геликоид и минимальную поверхность Коста. Поверхность Коста вовлекает эллиптическую функцию Вейерштрасса ${\displaystyle \wp }$^[4]:

${\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}$

${\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}$

где ${\displaystyle A}$ является константой^[5].

Выбрав функции ${\displaystyle f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}}$ и ${\displaystyle g(\omega )=e^{-\omega /A}}$, получим семейство минимальных поверхностей:

${\displaystyle \varphi _{1}=e^{-i\alpha }\operatorname {sh} \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$

${\displaystyle \varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\operatorname {ch} \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$

${\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha }}$

${\displaystyle \mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\operatorname {ch} \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\operatorname {sh} \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\operatorname {ch} \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\operatorname {ch} \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\operatorname {sh} \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\operatorname {sh} \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}}$

Выберем параметры поверхности ${\displaystyle \omega =s+i(A\phi )}$:

${\displaystyle \mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\operatorname {ch} \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\operatorname {ch} \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\operatorname {sh} \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\operatorname {sh} \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}}$

В экстремальных точках поверхность является катеноидом ${\displaystyle (\alpha =0)}$ или геликоидом ${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$. В остальном ${\displaystyle \alpha }$ представляет угол совмещения. Результирующая поверхность, при выборе области определения во избежание самопересечений, представляет собой цепочку, вращающуюся вокруг оси ${\displaystyle \mathbf {X} _{3}}$ по спирали.

Можно переписать каждый элемент второй фундаментальной матрицы в виде функций от ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, например:

${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')}$

А следовательно, вторая фундаментальная форма может быть упрощена:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}}$

Одним из собственных векторов матрицы является:

${\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'}}}}$

он представляет главное направление в комплексной области^[6]. Поэтому двумя главными направлениями в пространстве ${\displaystyle uv}$ оказываются:

${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2}}Arg(fg')\pm k\pi /2}$