Операторы OWA типа 1

Эти операторы предоставляют математический инструмент, позволяющий напрямую агрегировать неопределённую информацию с неопределёнными весами посредством механизма OWA для задач мягкого принятия решений и интеллектуального анализа данных, в которых подобные неопределённые объекты моделируются нечёткими множествами.

Существует два определения операторов OWA типа 1: на основе принципа расширения Заде и через ${\displaystyle \alpha }$-сечения нечётких множеств. Оба определения приводят к эквивалентным результатам.^[1]

Пусть ${\displaystyle F(X)}$ — множество нечётких множеств с областью дискурса ${\displaystyle X}$. Тогда оператор OWA типа 1 определяется следующим образом:

Дано ${\displaystyle n}$ лингвистических весов ${\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ в виде нечётких множеств, определённых на области дискурса ${\displaystyle U=[0,1]}$, оператор OWA типа 1 — это отображение ${\displaystyle \Phi }$:

${\displaystyle \Phi \colon F(X)\times \cdots \times F(X)\longrightarrow F(X)}$

${\displaystyle (A^{1},\cdots ,A^{n})\mapsto Y}$

такое что

${\displaystyle \mu _{Y}(y)=\displaystyle \sup _{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\bar {w}}_{i}a_{\sigma (i)}=y}\left({\begin{array}{*{1}l}\mu _{W^{1}}(w_{1})\wedge \cdots \wedge \mu _{W^{n}}(w_{n})\wedge \mu _{A^{1}}(a_{1})\wedge \cdots \wedge \mu _{A^{n}}(a_{n})\end{array}}\right)}$

где ${\displaystyle {\bar {w}}_{i}={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}$, а ${\displaystyle \sigma \colon \{1,\cdots ,n\}\longrightarrow \{1,\cdots ,n\}}$ — перестановка, такая что ${\displaystyle a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\ \forall i=1,\cdots ,n-1}$, то есть ${\displaystyle a_{\sigma (i)}}$ — ${\displaystyle i}$-й наибольший элемент в наборе ${\displaystyle \left\{a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}}$.

Используя ${\displaystyle \alpha }$-сечения нечётких множеств:

Пусть заданы ${\displaystyle n}$ лингвистических весов ${\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ в форме нечётких множеств на области дискурса ${\displaystyle U=[0,1]}$. Для каждого ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ определим ${\displaystyle \alpha }$-уровневый оператор OWA типа 1 с ${\displaystyle \alpha }$-уровневыми сечениями ${\displaystyle \left\{W_{\alpha }^{i}\right\}_{i=1}^{n}}$ для агрегирования ${\displaystyle \alpha }$-сечений нечётких множеств ${\displaystyle \left\{{A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ следующим образом:

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i}}\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1,\ldots ,n}\right\}}$

где ${\displaystyle W_{\alpha }^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},\;A_{\alpha }^{i}=\{x|\mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}}$, а ${\displaystyle \sigma :\{1,\cdots ,n\}\to \{1,\cdots ,n\}}$ — перестановка, такая что ${\displaystyle a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\cdots ,n-1}$, то есть ${\displaystyle a_{\sigma (i)}}$ — ${\displaystyle i}$-й по величине элемент множества ${\displaystyle \{a_{1},\cdots ,a_{n}\}}$.

Пусть даны ${\displaystyle n}$ лингвистических весов ${\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ в форме нечётких множеств на области дискурса ${\displaystyle U=[0,1]}$ и нечёткие множества ${\displaystyle A^{1},\cdots ,A^{n}}$. Тогда выполняется равенство:

${\displaystyle Y=G}$

где ${\displaystyle Y}$ — результат агрегирования по определению 1, а ${\displaystyle G}$ — результат по определению 2.

Согласно теореме представления, общий оператор OWA типа 1 может быть декомпозирован в серию ${\displaystyle \alpha }$-уровневых операторов OWA типа 1. На практике эта серия используется для построения результирующего агрегирующего нечёткого множества. Необходимо вычислить левую и правую границы интервалов ${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)}$, после чего результирующее агрегирующее нечёткое множество строится с использованием функции принадлежности вида:

${\displaystyle \mu _{G}(x)=\operatorname {\bigvee } \limits _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\alpha }$

Для левых границ решается следующая оптимизационная задача:

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}=\operatorname {\min } \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}\\A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}a_{\sigma (i)}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}}$

Для правых границ — аналогично:

${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+}=\operatorname {\max } \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}\\A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}a_{\sigma (i)}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}}$

Для эффективного решения этих программных задач был предложен быстрый метод.

Процесс состоит из трёх шагов:

• Шаг 1 — Определить разрешение по ${\displaystyle \alpha }$ на отрезке [0, 1].
• Шаг 2 — Для каждого ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$:

• Шаг 2.1 — Посчитать ${\displaystyle \rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}$:

1. Пусть ${\displaystyle i_{0}=1}$;
2. Если ${\displaystyle \rho _{\alpha +}^{i_{0}}\geq A_{\alpha +}^{\sigma (i_{0})}}$, то остановиться; ${\displaystyle \rho _{\alpha +}^{i_{0}}}$ — решение; иначе перейти к шагу 2.1-3.
3. ${\displaystyle i_{0}\leftarrow i_{0}+1}$, перейти к шагу 2.1-2.

• Шаг 2.2 — Посчитать ${\displaystyle \rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }}}$:

1. Пусть ${\displaystyle i_{0}=1}$;
2. Если ${\displaystyle \rho _{\alpha -}^{i_{0}}\geq A_{\alpha -}^{\sigma (i_{0})}}$, то остановиться; ${\displaystyle \rho _{\alpha -}^{i_{0}}}$ — решение; иначе перейти к шагу 2.2-3.
3. ${\displaystyle i_{0}\leftarrow i_{0}+1}$, перейти к шагу 2.2-2.

• Шаг 3 — Построить итоговое агрегирующее нечёткое множество ${\displaystyle G}$ по всем найденным интервалам ${\displaystyle \left[{\rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }},\;\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}\right]}$:

${\displaystyle \mu _{G}(x)=\operatorname {\bigvee } \limits _{\alpha :x\in \left[\rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }},\;\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}\right]}\alpha }$

• Оператор OWA типа 1 с весами, представленными на верхнем рисунке, применяется для агрегирования нечётких множеств (сплошные линии) на нижнем рисунке; пунктирная линия — результат агрегирования.

• Любые операторы OWA, такие как максимум, минимум, усредняющие операторы;
• Операторы объединения (join) нечётких множеств типа 1, то есть нечёткие операторы максимума;
• Операторы пересечения (meet) нечётких множеств типа 1, то есть нечёткие операторы минимума;
• Операторы, родственные объединяющим для нечётких множеств типа 1;
• Операторы, родственные пересекающим для нечётких множеств типа 1.

Операторы OWA типа 2 были предложены для агрегирования нечётких множеств типа 2 при мягком принятии решений.

Операторы OWA типа 1 применяются в различных областях мягкого принятия решений:

• Повышение эффективности вычислений;
• Преобразование типа для нечётких множеств типа 2;
• Групповое принятие решений;
• Оценка кредитного риска;
• Слияние информации;
• Лингвистические выражения и символьный перевод;
• Анализ настроений;
• Выбор маршрутов в условиях неопределённости;
• Рекомендательные системы в электронной коммерции.