Обратная функция. График обратной функции

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x задаёт y, то обратная ей функция от y задаёт x.

Более формальное эквивалентное определение:

Функция $g:Y\to X$ называется обратной к функции $f:X\to Y$ , если выполнены следующие тождества:

$f(g(y))=y$ для всех $y\in Y;$
$g(f(x))=x$ для всех $x\in X.$

Обратная функция функции $f$ обычно обозначается $f^{-1}$ , иногда также используется обозначение $f^{\mathrm {inv} }$ .

Функция, имеющая обратную, называется обрати́мой.

Условие обратимости функции — её монотонность (убывает или возрастает).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$ .

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y=f(x)$ относительно $x$ . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к $f$ не существует. Таким образом, функция $f(x)$ обратима на интервале $(a;b)$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции $F(y)$ выразить $y$ из уравнения $x-F(y)=0$ возможно в том и только том случае, когда функция $F(y)$ строго монотонна. В то же время, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, ${\sqrt {x}}$ является обратной функцией к $x^{2}$ на $[0,+\infty )$ , хотя на промежутке $(-\infty ,0]$ обратная функция другая: $-{\sqrt {x}}$ .

Если $F(x)=a^{x}$ , где $a>0,a\neq 1,$ то $F^{-1}(x)=\log _{a}x.$
Если $F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R}$ , где $a,b\in \mathbb {R}$ фиксированные постоянные и $a\neq 0$ , то $F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.$
Если $F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z}$ , то $F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.$