Нормальная форма дифференциальных уравнений

Идея приведения уравнений к простейшему виду заменой переменных была систематически развита Анри Пуанкаре в трёхтомных «Новых методах небесной механики» (1892—1899), где нормальные формы возникли в задаче о периодических решениях и устойчивости движения планетных систем; там же впервые выделены малые знаменатели — препятствие сходимости нормализующих рядов, порождаемое резонансами между частотами^[4]. Параллельно А. М. Ляпунов в диссертации «Общая задача об устойчивости движения» (1892) построил свои «семейства поверхностей» — по существу частный случай нормализующих преобразований, — положив начало методу функций Ляпунова^[5]. Точную форму общему методу придал Анри Дюлак в мемуаре 1912 года, опубликованном в «Бюллетене Математического общества Франции», — теперь результат носит имя теоремы Пуанкаре — Дюлака^[6].

Для гамильтоновых систем нормальную форму построил Джордж Биркгоф в монографии «Dynamical Systems» (1927)^[7]; каноническая классификация особых точек неявных уравнений первого порядка выполнена Марией Чибрарио в начале 1930-х годов^[8]. Проблему сходимости нормализующих рядов решил в существенной части Карл Людвиг Зигель: в заметках 1952 и 1954 годов он выделил область Зигеля, показал расходимость рядов при «плохом» арифметическом спектре и доказал сходимость при диофантовых условиях на частоты^[9][10]. Гладкая линеаризация гиперболических систем установлена Шломо Штернбергом (1958)^[11]; для плоских аналитических систем аналогичный результат получен В. А. Плиссом (1965)^[12].

В русской школе теория нормальных форм получила мощное развитие в работах А. А. Андронова, С. Э. Хайкина и А. А. Витта по качественной теории дифференциальных уравнений, а также в работах Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского по асимптотическим методам теории нелинейных колебаний (1930—1960-е)^[13]. Позднее А. Д. Брюно выделил точные условия сходимости (условия Брюно) и построил степенную геометрию — аппарат, обобщающий нормальные формы^[3]. Систематическое изложение теории с геометрических позиций дано в книгах В. И. Арнольда^[1][14]; современные алгоритмические аспекты собраны в монографии Дж. Мердока^[15].

Рассматривается автономная система

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+f(x),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}\ {\text{или}}\ \mathbb {C} ^{n},}$

где A — постоянная матрица, а аналитическая нелинейность f начинается с членов второго порядка: f(0) = 0, Df(0) = 0. Ищется почти тождественная замена переменных x = y + h(y), где h = O(|y|²), после которой система принимает наиболее простой вид. Подстановка даёт для каждого однородного компонента h_k степени k так называемое гомологическое уравнение

${\displaystyle Dh_{k},Ay-Ah_{k}=-g_{k}(y),}$

где g_k — однородные члены степени k, подлежащие устранению. Оператор в левой части линеен на пространствах однородных мономов; на мономе y^me_j он действует умножением на (⟨m, λ⟩ − λ_j), где λ = (λ₁, …, λ_n) — спектр матрицы A. Если все эти множители отличны от нуля, член устраняется; если же

${\displaystyle \lambda _{j}=\langle m,\lambda \rangle =m_{1}\lambda _{1}+\dots +m_{n}\lambda _{n},\qquad |m|=m_{1}+\dots +m_{n}\geq 2,}$

то моном резонансен и в общем случае неустраним^[14].

Почти тождественные замены удобно рассматривать как потоки малых векторных полей: подстановка x = e^Dy, где D — дифференцирование вдоль вспомогательного поля, порождает ряды Ли; в этих терминах гомологическое уравнение есть условие уничтожения скобки Ли вспомогательного поля с линейной частью системы^[3]. Такой «инфинитезимальный» взгляд делает теорию нормальных форм частью теории действий групп Ли на пространствах векторных полей.

Резонансным называется соотношение λ_j = ⟨m, λ⟩ с целыми m_i ≥ 0 и |m| ≥ 2; спектр с хотя бы одним таким соотношением называется резонансным.

Для седлового спектра λ = (−1, 1) резонансных соотношений бесконечно много: −1 = −(k+1) + k и 1 = k − (k+1); резонансные мономы заполняют две диагонали целочисленной решётки (см. рисунок).

Для узлового спектра λ = (1, 2) единственный резонанс при |m| ≥ 2 — это 2 = 2·1 + 0, то есть моном x₁² во втором уравнении.

Если одно из собственных значений равно нулю, резонансы есть всегда (0 = ⟨m, 0⟩), поэтому вырожденные особые точки (бифуркации, «взрывная неустойчивость») нелинеаризуемы.

Комплексная тройка 1, ω, ω² (где ω = e^2πi/3) резонансна: 1 + ω + ω² = 0. Со спектром связаны две классические области комплексной плоскости: область Пуанкаре (выпуклая оболочка спектра не содержит нуля; например, все Re λ_j < 0) и область Зигеля (её дополнение). В области Пуанкаре резонансов конечное число, и формальный нормализующий ряд сходится; в области Зигеля возникают малые знаменатели — множители |⟨m, λ⟩ − λ_j| могут быть сколь угодно малы, и сходимость ряда зависит от тонких арифметических свойств спектра (условия Зигеля и Брюно)^[16].

Для всякой формальной системы ẋ = Ax + f(x) с f(0) = 0, Df(0) = 0 существует формальная почти тождественная замена переменных, приводящая систему к виду, в котором остаются только резонансные мономы; такой вид называется нормальной формой^[6][14].

Нормальная форма не единственна: выбором замен в классе резонансных преобразований её можно дополнительно упрощать (простейшие нормальные формы, нормальные формы Белицкого); этот факт используется в современных алгоритмических методах^[15]. Если резонансов нет вовсе, нормальная форма линейна — система формально линеаризуема; вопрос о сходимости линеаризующей замены — предмет классических теорем Пуанкаре, Зигеля, Плисса и Брюно. Для гиперболических особых точек гладкая (но, вообще говоря, не аналитическая) линеаризация всегда возможна — это устанавливает теорема Штернберга^[11]; в двумерном аналитическом случае препятствие к аналитической линеаризации исчерпывается резонансами — теорема Плисса^[12].

1. Неособая точка: выпрямление поля. Нормальная форма автономной системы в окрестности «неособой» точки (где векторное поле в фазовом пространстве (x₁, …, x_n) отлично от нуля):

${\displaystyle {\frac {dx_{1}}{dt}}=1,\qquad {\frac {dx_{2}}{dt}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{dt}}=0.}$

Соответствующая замена существует и является гладкой — это классическая теорема о выпрямлении векторного поля («flow box»); нормальными координатами служат время вдоль траектории и n−1 поперечных координат^[1].

2. Взрывная неустойчивость. Нормальная форма вырожденного уравнения «взрывной неустойчивости»

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x^{2}}$

совпадает с исходной формой: из-за нулевого собственного значения (λ = 0) резонанс есть всегда, и уравнение не сводится к линейному. Решения x(t) = 1/(T − t) уходят на бесконечность за конечное время T — эффект, принципиально неустранимый линейной заменой^[17].

3. Линейный осциллятор. Нормальная форма уравнений линейного осциллятора

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0}$

представляется парой линейных уравнений для комплексно-сопряжённых переменных

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}+iz=0,\qquad {\frac {d{\bar {z}}}{dt}}-i{\bar {z}}=0,}$

где ${\displaystyle z=x+i\,{\frac {dx}{dt}}}$ — нормальная координата.

4. Уравнение логистического типа. Нормальная форма уравнения с квадратичной нелинейностью (сдвинутого варианта логистического уравнения)

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-x+cx^{2}}$

есть линейная форма

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y,}$

причём нормирующая замена выписывается в явном виде:

${\displaystyle x={\frac {y}{1+cy}},\qquad y={\frac {x}{1-cx}}.}$

В том, что ${\displaystyle y}$ — нормальная координата, можно убедиться непосредственной подстановкой (см. задачу 1); замена получается суммированием асимптотического ряда нормализующих преобразований и имеет полюс при ${\displaystyle y=-1/c}$ — решению с ${\displaystyle x_{0}>1/c}$ отвечает уход ${\displaystyle y}$ на полюс за конечное время. (Спектр ${\displaystyle \lambda =-1}$ резонансов не содержит, поэтому линеаризация возможна.)

5. Осциллятор с затуханием. Нормальная форма нелинейных уравнений осциллятора с затуханием

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\varepsilon {\frac {dx}{dt}}+x+f(x)=0,\qquad 0<\varepsilon <1,}$

где ${\displaystyle f}$ — произвольный степенной ряд, начинающийся с квадратичных членов, есть пара линейных комплексно-сопряжённых уравнений

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}-{\bigl (}i{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}-\varepsilon {\bigr )}z=0,\qquad {\frac {d{\bar {z}}}{dt}}+{\bigl (}i{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}+\varepsilon {\bigr )}{\bar {z}}=0,}$

где нормальная координата (в линейной части) есть

${\displaystyle z=x+{\bigl (}\varepsilon -i{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}{\bigr )}{\frac {dx}{dt}}.}$

Собственные числа ${\displaystyle \lambda _{1,2}=-\varepsilon \pm i{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}$ при ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$ резонансов не имеют. Действительно, условие резонанса ${\displaystyle m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}=\lambda _{j}}$ требует равенства мнимых частей: ${\displaystyle (m_{1}-m_{2}){\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=\pm {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}$, откуда ${\displaystyle m_{1}-m_{2}=\pm 1}$. Равенство действительных частей даёт ${\displaystyle -(m_{1}+m_{2})\varepsilon =-\varepsilon }$, то есть ${\displaystyle m_{1}+m_{2}=1}$. Однако для нелинейных членов по определению ${\displaystyle |m|=m_{1}+m_{2}\geqslant 2}$, что противоречит полученному условию. Следовательно, все нелинейные члены устраняются, и формальная нормальная форма строго линейна^[14].

6. Седло. Нормальная форма нелинейных уравнений движения в окрестности «седла»

${\displaystyle {\frac {dx_{1}}{dt}}=-x_{1}+h_{1}(x_{1},x_{2}),\qquad {\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{2}+h_{2}(x_{1},x_{2}),}$

где h₁ и h₂ — произвольные степенные ряды, начинающиеся с квадратичных членов, есть пара нелинейных уравнений

${\displaystyle {\frac {dy_{1}}{dt}}=-y_{1}+y_{1}f(y_{1}y_{2}),\qquad {\frac {dy_{2}}{dt}}=y_{2}+y_{2}g(y_{1}y_{2}),}$

где f и g — степенные ряды по единому аргументу y₁y₂. Систему не удаётся привести к линейной нормальной форме из-за резонанса (спектр (−1, 1) содержит бесконечную серию резонансов). Произведение s = y₁y₂ меняется по автономному уравнению

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=s{\bigl (}f(s)+g(s){\bigr )},}$

так что кривые y₁y₂ = const инвариантны и играют роль «почти первых интегралов»^[3].

7. Неявное уравнение: форма Чибрарио. Нормальная форма уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки (точки складывания) — точки, вблизи которой уравнение F(x, y, y′) = 0 не может быть однозначно разрешено относительно y′, — так называемая нормальная форма Чибрарио

${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{2}=x.}$

Уравнение имеет двузначное поле направлений при x > 0 и вовсе не имеет направлений при x < 0; решения суть полукубические параболы y = ±(2/3)x^3/2 + C, ветви которых срастаются в точке складки^[14][8].

8. Одномерный случай. Всякое скалярное уравнение ẋ = λx + a x² + … с λ ≠ 0 линеаризуется точно: уже при наличии одного квадратичного члена замена

${\displaystyle x={\frac {y}{1-(a/\lambda ),y}}}$

даёт ẏ = λy. В одномерии резонансы возможны только при λ = 0.

9. Узел с резонансом. Для спектра λ = (1, 2) единственный резонанс 2 = 2·1 порождает неустранимый член: нормальная форма имеет вид

${\displaystyle {\dot {y}}_{1}=y_{1},\qquad {\dot {y}}_{2}=2y_{2}+\varphi (y_{1}),}$

где φ — степенной ряд без свободного и линейного членов; в частности, член y₁² устранить нельзя.

10. Сумма нормализующего ряда. Система

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{1},\qquad {\dot {x}}_{2}=2x_{2}+x_{1}x_{2}}$

линеаризуется точно заменой x₂ = y₂e^y₁: формальный ряд последовательных нормализующих преобразований суммируется в экспоненту (см. задачу 2). Резонанс 2 = 1 + 1 относится к мономам вида x₁², которых в данной системе нет.

11. Нормальная форма Хопфа. Система с парой чисто мнимых собственных значений ±i и квадратичной нелинейностью приводится (в формальном смысле) к нормальной форме Пуанкаре — Ляпунова: в полярных координатах

${\displaystyle {\dot {r}}=r{\bigl (}l_{1}r^{2}+l_{2}r^{4}+\dots {\bigr )},\qquad {\dot {\varphi }}=\omega +\dots }$

Коэффициенты l₁, l₂, … называются ляпуновскими величинами; знак первой из них определяет устойчивость фокуса и рождение предельного цикла — бифуркацию Хопфа^[18]. Модельный пример — осциллятор Ван дер Поля ẍ + μ(x² − 1)ẋ + x = 0, нормальная форма которого ṙ = (μ/2)·r·(1 − r²/4) + …, φ̇ = 1 + … (устойчивый цикл r* = 2) описывает мягкое самовозбуждение колебаний^[13].

12. Нормальная форма Биркгофа. Для гамильтоновых систем нормальная форма строится каноническими преобразованиями; теорема Биркгофа гарантирует приведение гамильтониана к функции, зависящей только от переменных действия. Для осциллятора с кубической асимметрией (осциллятор Дуффинга)

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2})+{\tfrac {\alpha }{4}}q^{4}}$

нормальная форма (с точностью до членов четвёртого порядка) есть

${\displaystyle H^{*}=J+{\tfrac {3}{8}}\alpha J^{2}+\dots ,\qquad J={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}),}$

откуда сдвиг частоты колебаний Ω = ∂H*/∂J = 1 + ³/₄αJ = 1 + ³/₈αA² + O(A⁴) для амплитуды A. Это описывает нелинейное «размягчение» или «ужесточение» осциллятора, качественно недоступное линейной теории.

Построение нормальных форм вручную трудоёмко уже при порядках выше третьего. Современные исследования опираются на:

• алгоритм Белицкого для построения простейших нормальных форм, минимизирующих число ненулевых коэффициентов за счёт использования резонансных преобразований;
• системы компьютерной алгебры (Maple, Mathematica, Reduce), в которых реализованы специализированные пакеты для автоматического вычисления гомологических уравнений и ляпуновских величин;
• гипернормальные формы. Представляют собой следующий, более глубокий этап упрощения динамической системы после применения классической теории нормальных форм Пуанкаре-Дюлака. Если стандартная нормальная форма устраняет все нерезонансные члены до определённого порядка, она часто оставляет «избыточность» (свободу выбора), поскольку гомологическое уравнение может иметь нетривиальное ядро. Гипернормальные формы используют эту остаточную свободу для максимально возможного обнуления коэффициентов^[19].

Теория нормальных форм тесно переплетается с классическими методами нелинейной механики

• метод усреднения Крылова — Боголюбова по сути является построением нормальной формы для систем с быстро вращающейся фазой, где усреднённая система и есть нормальная форма первого приближения;
• метод многих масштабов и метод Пуанкаре — Линдштедта являются инженерными реализациями идеи исключения секулярных (резонансных) членов, что эквивалентно приведению к нормальной форме.

Гамильтоновы системы. Нормальная форма Биркгофа — основной инструмент локальной теории: она порождает приближённые первые интегралы и служит отправной точкой теории КАМ (инвариантных торов); здесь малые знаменатели проявляются наиболее драматично^[16].

Уравнения в частных производных (УрЧП). Для бесконечномерных динамических систем (например, уравнений реакции-диффузии или нелинейного уравнения Шрёдингера) нормальные формы строятся в фазовых пространствах Соболева. Они позволяют описывать образование пространственных структур и резонансное взаимодействие волн^[15].

Неявные уравнения. Для уравнений F(x, y, y′) = 0, не разрешённых относительно производной, полная классификация канонических (нормальных) форм в окрестности регулярных особых точек дана Марией Чибрарио^[8]; форма Чибрарио — простейшая из них (точка складки), далее следуют формы, отвечающие точкам сборки и т. д.

Отображения. Для дискретных систем (итераций отображения) нормальная форма строится в окрестности неподвижной точки; резонансы спектра линеаризации определяют неустранимые члены так же, как и для потоков^[15].

Теория бифуркаций. Нормальные формы элементарных бифуркаций — «кирпичи» теории: седло-узел ẋ = μ ± x², транскритическая ẋ = μx ± x², «вилка» ẋ = μx ± x³, Хопф — «канонические представители» классов эквивалентности^[17][18].

• Небесная механика и астродинамика. Нормальные формы порождают формальные интегралы движения и описывают эволюцию орбит под действием резонансов; на них основаны методы теории КАМ и расчёты долговременной устойчивости планетных систем и спутниковых орбит^[16].
• Теория устойчивости и управления. По нормальной форме строятся функции Ляпунова и вычисляются ляпуновские величины — критерии устойчивости фокуса и рождения циклов; в задачах управления нормальные формы используются для синтеза линеаризующей обратной связи (feedback linearization)^[18].
• Теория бифуркаций и нелинейные колебания. Все элементарные сценарии потери устойчивости описываются своими нормальными формами; асимптотические методы Крылова — Боголюбова — Митропольского — это инженерная версия нормальных форм для колебательных систем^[13][18].
• Математическая и нелинейная физика. Канонические преобразования к переменным действие — фаза и нормальные формы используются в теории волн на воде, нелинейной оптике, физике ускорителей (резонансы частиц с полем) и в физике плазмы (резонансное взаимодействие волн)^[3].
• Биология и химия. В моделях популяционной динамики (типа Лотки — Вольтерры) и кинетики химических реакций нормальные формы позволяют классифицировать сценарии возникновения колебаний и хаоса.
• Вычислительная математика. Построение нормальных форм реализовано в системах компьютерной алгебры; оно служит стандартным первым шагом при качественном анализе нелинейных моделей, поскольку обрезанная нормальная форма сохраняет топологию поведения в окрестности особой точки^[15].