Чётные и нечётные числа

• Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
• Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

Если m чётно, то оно представимо в виде ${\displaystyle m=2k}$, а если нечётно, то в виде ${\displaystyle m=2k+1}$, где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$^[1].

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2; отображение ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, сопоставляющее числу его чётность, — гомоморфизм аддитивных групп^[2].

2 — единственное чётное простое число; все остальные простые числа нечётны, поскольку любое чётное число больше 2 делится на 2 и, следовательно, составное^[3].

• Обобщение на несколько чисел:
  • Сумма нескольких целых чисел чётна тогда и только тогда, когда среди них чётное количество нечётных слагаемых.
  • В частности, сумма n нечётных чисел чётна, если n чётно, и нечётна, если n нечётно.
  • Произведение нескольких целых чисел чётно тогда и только тогда, когда среди них есть хотя бы один чётный множитель; если все множители нечётны, произведение нечётно.

В контрольно-измерительных материалах ЕГЭ и ОГЭ по математике понятие чётности используется в заданиях следующих типов^[5][6]:

Конкретные формулировки заданий и их количество ежегодно обновляются; актуальные варианты доступны в Открытом банке заданий ФИПИ^[5][6].

• В правилах дорожного движения России стоянка под знаками 3.29 и 3.30 разрешается в зависимости от чётности числа месяца^[7].
• В высших учебных заведениях учебный процесс может делиться на чётные и нечётные недели с различным расписанием занятий для равномерного распределения нагрузки.
• На железнодорожном транспорте:
  • чётность номера поезда указывает направление движения (например, поезд «Россия» № 001 следует из Владивостока в Москву, № 002 — обратно);
  • в плацкартных и купейных вагонах чётные места — верхние, нечётные — нижние;
  • графики движения поездов, следующих через день, исторически привязывались к чётности дат, однако с развитием онлайн-сервисов эта практика утратила значение.

Различение чётных и нечётных чисел относится к древнейшим математическим представлениям. В пифагорейской школе (VI—V вв. до н. э.) это было не просто классификацией, а основой числовой философии: нечётное отождествлялось с ограничивающим началом, чётное — с неограниченным^[8]. Геометрически это иллюстрировалось построением гномонов: если последовательно пристраивать к единице нечётные числа точек (1, затем +3, затем +5…), каждый раз получается квадратное число (1, 4, 9, 16…), сохраняющее форму квадрата, тогда как аналогичное построение с чётными числами такой правильности не даёт. Этот приём, приведённый Аристотелем в «Физике» (III, 4), — одно из немногих аутентичных свидетельств о пифагорейской арифметике, поскольку собственные сочинения пифагорейцев не сохранились^[8]. Чётные числа также назывались женскими, нечётные — мужскими; символом брака считалась сумма нечётного числа три (мужское) и чётного числа два (женское)^[9].

Систематическое изложение свойств чётных чисел содержится в книгах VII—IX «Начал» Евклида (III в. до н. э.)^[10]. Определения 6 и 7 книги VII гласят дословно: «Чётное число есть делящееся пополам. Нечётное же — не делящееся пополам или отличающееся на единицу от чётного числа»^[11]; далее вводятся более дробные классы — чётно-чётное число (измеряемое чётным числом чётное число раз) и чётно-нечётное (измеряемое чётным числом нечётное число раз)^[11]. Опираясь на эти определения, Евклид в книге IX доказывает, что произведение двух чисел чётно тогда и только тогда, когда чётен хотя бы один из сомножителей, и завершает книгу построением формулы чётных совершенных чисел: если 2ⁿ−1 простое, то число 2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1) совершенно^[10]. Позднее, в I в. н. э., Никомах Геразский в «Введении в арифметику» развил эту классификацию, дополнив её описанием чётно-чётных чисел, порождаемых последовательным удвоением от единицы^[11].

В IX веке багдадский математик Сабит ибн Курра, отталкиваясь от евклидовой теории делителей, вывел формулу для построения пар дружественных чисел вида 2ⁿpq и 2ⁿr (где p, q, r — простые числа специального вида): степень двойки здесь не случайная деталь, а структурное условие, обеспечивающее совпадение сумм делителей у обоих чисел пары^[12]. В Новое время П. Ферма систематически использовал чётность как рабочий инструмент метода бесконечного спуска, в том числе в доказательстве отсутствия решений уравнения x⁴+y⁴=z⁴ в натуральных числах^[9]. К. Ф. Гаусс в «Арифметических исследованиях» (1801) ввёл систематическую запись сравнений по модулю; в этом языке чётность оказывается вопросом принадлежности числа классу вычетов 0 или 1 по модулю 2, что свело разрозненные со времён Евклида свойства чётности к частному случаю общей арифметики сравнений^[9].