Неравенство Бишопа — Громова

Пусть ${\displaystyle M}$ — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть

${\displaystyle \mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K}$

для постоянной ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$.

Обозначим через ${\displaystyle B(p,r)_{M}}$ шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ обозначает n-мерное модельное пространство. То есть ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны ${\displaystyle K}$. Таким образом,

• ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ является n-сферой радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$, если ${\displaystyle K>0}$, или
• n-мерным евклидовым пространством, если ${\displaystyle K=0}$, или
• пространством Лобачевского с кривизной ${\displaystyle K<0}$.

Тогда для любых ${\displaystyle p\in M}$ и ${\displaystyle {\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)}$ функция

${\displaystyle \phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}}{\operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}}}}$

не возрастает в интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$.