Неравенство Белла — Клаузера — Хорна — Шимони

Пусть ${\displaystyle X_{j},Y_{k},j,k=1,2}$ — случайные величины на произвольном вероятностном пространстве ${\displaystyle \Omega }$ такие, что ${\displaystyle \left|X_{j}\right|\leqslant 1,\left|Y_{k}\right|\leqslant 1}$. Тогда для любого распределения вероятностей ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle \Omega }$ корреляция этих величин удовлетворяет неравенству ${\displaystyle \left|\mathbb {E} X_{1}Y_{1}+\mathbb {E} X_{1}Y_{2}+\mathbb {E} X_{2}Y_{1}-\mathbb {E} X_{2}Y_{2}\right|\leqslant 2}$, где ${\displaystyle \mathbb {E} }$ - математическое ожидание, соответствующее распределению ${\displaystyle P}$.^[1]

Доказательство исходит из неравенства: ${\displaystyle \left|X_{1}Y_{1}+X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{1}-X_{2}Y_{2}\right|\leqslant \left|Y_{1}+Y_{2}\right|+\left|Y_{1}-Y_{2}\right|\leqslant 2\max \left\{\left|Y_{1}\right|,\left|Y_{2}\right|\right\}}$

Из него следует неравенство ${\displaystyle -2\leqslant X_{1}Y_{1}+X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{1}-X_{2}Y_{2}\leqslant 2}$

Усредняя его по распределению ${\displaystyle P}$, получаем искомое неравенство.^[1]