Многочлен Лорана

Многочлен Лорана с коэффициентами из поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$ — это выражение вида

${\displaystyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,}$

где X — формальная переменная, ${\displaystyle k}$ — целое число (не обязательно положительное) и только конечное число ${\displaystyle p_{k}}$ неотрицательны.

Два многочлена Лорана равны, если их соответствующие коэффициенты равны. Многочлены Лорана можно складывать и умножать точно также, как и обычные многочлены, но нужно помнить о том, что могут присутствовать отрицательные степени X

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.}$

Т.к. количество неотрицательных коэффициентов ${\displaystyle a_{j}}$ и ${\displaystyle b_{j}}$ конечно, то все суммы будут иметь конечное количество членов и таким образом будут отображать многочлен Лорана.

• Многочлен Лорана над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ может рассматриваться как ряд Лорана с конечным числом неотрицательных коэффициентов.
• Кольцо многочленов Лорана является подкольцом кольца дробно-рациональных функций.