Массивная нотация Бауэрса

Нотация Бауэрса для линейного массива включает следующие правила^[3][4]:

1. ${\displaystyle \{a\}=a}$ и ${\displaystyle \{a,b\}=a^{b}}$
2. ${\displaystyle \{a,b,c,\ldots ,n,1\}=\{a,b,c,\ldots ,n\}}$
3. ${\displaystyle \{a,1,b,c,\ldots ,n\}=a}$
4. ${\displaystyle \{a,b,1,\ldots ,1,c,d,\ldots ,n\}=\{a,a,a,\ldots ,\{a,b-1,1,\ldots ,1,c,d,\ldots ,n\},c-1,d,\ldots ,n\}}$.
5. Если правила 1—4 не применяются, ${\displaystyle \{a,b,c,d,\ldots ,n\}=\{a,\{a,b-1,c,d,\ldots ,n\},c-1,d,\ldots ,n\}}$

Массив включает 2 элемента

• ${\displaystyle \{10,100\}=10^{100}=10\uparrow 100}$ (применено правило 1)

Массив включает 3 элемента

• ${\displaystyle \{10,100,1\}=\{10,100\}}$ (применено правило 2)
• ${\displaystyle \{10,100,2\}=\{10,\{10,99,2\}\}=\{10,\{10,\{10,98,2\}\}\}=\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} _{\text{100 десяток}}=10\uparrow \uparrow 100}$ (применено правило 5)
• ${\displaystyle \{10,100,3\}=\{10,\{10,99,3\},2\}=\{10,\{10,\{10,98,3\},2\},2\}=\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&{\text{10 десяток}}\end{matrix}}\right\}{\text{100 }}=10\uparrow \uparrow \uparrow 100}$ (применено правило 5)

В общем случае для трёхэлементного массива верно ${\displaystyle \{a,b,m\}=a\uparrow ^{m}b}$ в соответствии с нотацией Кнута.

Массив включает 4 элемента

• ${\displaystyle \{10,100,1,1\}=\{10,100\}}$ (применено правило 2)
• ${\displaystyle \{10,100,1,2\}=\{10,10,\{10,99,1,2\}\}=\{10,10,\{10,10,\{10,98,1,2\}\}\}=\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 10} \\&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 10} \\&&\underbrace {\qquad \ \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 10} \\&&{\text{10 стрелок}}\end{matrix}}\right\}{\text{100 }}\approx 10\rightarrow 10\rightarrow 100\rightarrow 2}$ (применено правило 4)

и это уже больше числа Грэма (само число Грэма находится где-то между {3,64,1,2} и {3,65,1,2}).

• ${\displaystyle \{10,100,2,2\}=\{10,\{10,99,2,2\},1,2\}=\{10,\{10,\{10,98,2,2\},1,2\},1,2\}\approx 10\rightarrow 10\rightarrow 100\rightarrow 3}$ (применено правило 5)
• ${\displaystyle \{10,100,m,2\}\approx 10\rightarrow 10\rightarrow 100\rightarrow (m+1)}$

В общем случае для четырёхэлементного массива верно

${\displaystyle \{a,b,c,d\}>\underbrace {a\rightarrow a\rightarrow \cdots a\rightarrow a} _{d-1{\text{ стрелок}}}\rightarrow (b-1)\rightarrow (c+1)}$

в соответствии с нотацией Конвея.

Таким образом, если массив Бауэрса, включающий 3 элемента, имеет мощность нотации Кнута (предел ${\displaystyle \omega }$), то четырёхэлементный массив имеет уже мощность нотации Конвея (предел ${\displaystyle \omega ^{2}}$), и так далее с добавлением каждого нового элемента. Нотация Бауэрса для линейного массива, включающего конечное число элементов, имеет предел ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ в терминологии быстрорастущей иерархии.