Логарифмические тождества

В 1614 году шотландский математик Джон Непер изобрёл логарифмы для упрощения сложных астрономических вычислений, предложив заменять трудоёмкое умножение на более простое сложение^[1].

Позднее в сотрудничестве с Генри Бригсом был осуществлён переход к более удобным десятичным логарифмам^[1]. Вплоть до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) основными вычислительными инструментами оставались логарифмические таблицы и логарифмическая линейка^[2].

В XVIII веке Леонард Эйлер формализовал современное определение логарифма как показателя степени и придал логарифмическим тождествам их современный вид^[1].

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[3]:

${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}$

Это тождество справедливо при ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle a\neq 1}$ и ${\displaystyle b>0}$^[4]. Ещё несколько равенств, очевидных из определения логарифма:

${\displaystyle \log _{a}1=0}$

${\displaystyle \log _{a}a=1}$

${\displaystyle \log _{a}a^{b}=b}$

Данные равенства выполняются при ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle a\neq 1}$^[5].

Сводка тождеств^[6]:

	Формула	Пример	Доказательство
Произведение	${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
Частное от деления	${\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$
Степень	${\displaystyle \log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \log _{a}{x^{p}}=y}$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p}}$ ${\displaystyle a^{\frac {y}{p}}=x}$ ${\displaystyle log_{a}{x}={\frac {y}{p}}}$ ${\displaystyle p\cdot log_{a}{x}=y}$
Степень с чётным показателем	${\displaystyle \log _{a}(x^{2k})=2k\log _{a}|x|}$[7]
Степень в основании	${\displaystyle \log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{2^{10}}{\sin {({\frac {\pi }{6}})}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0.1}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \log _{a^{p}}{x}=y}$ ${\displaystyle a^{y\cdot p}=x}$ ${\displaystyle log_{a}{x}=p\cdot y}$ ${\displaystyle {\frac {log_{a}{x}}{p}}=y}$
Корень	${\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{(x)}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1.5}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y}$ ${\displaystyle a^{y}={\sqrt[{p}]{x}}}$ ${\displaystyle a^{p\cdot y}=x}$ ${\displaystyle log_{a}{x}=p\cdot y}$ ${\displaystyle {\frac {log_{a}{x}}{p}}=y}$
Корень в основании	${\displaystyle \log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)}$	${\displaystyle \log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \operatorname {arctg} {1})}=2\cdot \log _{\pi }{(4\cdot {\frac {\pi }{4}})}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y}$ ${\displaystyle a^{\frac {y}{p}}=x}$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p}}$ ${\displaystyle a^{\frac {y}{p}}=x}$ ${\displaystyle log_{a}{x}={\frac {y}{p}}}$ ${\displaystyle p\cdot log_{a}{x}=y}$

Стандартные логарифмические тождества можно обобщить для отрицательных значений переменных с помощью модуля. Они применимы при условии, что выражение под знаком логарифма в левой части положительно (то есть ${\displaystyle xy>0}$ и ${\displaystyle x/y>0}$, когда переменные одного знака)^[7]:

${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|}$

${\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|}$

Формулы для логарифма произведения обобщаются на произвольное количество сомножителей:

${\displaystyle \log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\dots +\log _{a}(x_{n})}$ (для положительных аргументов)

${\displaystyle \log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\dots +\log _{a}|x_{n}|}$ (при условии ${\displaystyle x_{1}x_{2}\dots x_{n}>0}$)

Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.

${\displaystyle \log _{a}(b+c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1+{\frac {c}{b}}\right)}$

${\displaystyle \log _{a}(b-c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1-{\frac {c}{b}}\right),\quad }$ здесь ${\displaystyle b>c}$

Обобщение:

${\displaystyle \log _{a}\sum \limits _{k=1}^{N}b_{k}=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}{\frac {b_{k}}{b_{1}}}\right)=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}a^{\left(\log _{a}b_{k}-\log _{a}b_{1}\right)}\right)}$

В современных численных методах, статистике и машинном обучении для вычисления логарифма суммы экспонент без потери точности и переполнения применяется приём, известный как Log-Sum-Exp (LSE). Прямое вычисление выражения вида ${\displaystyle \log(e^{x}+e^{y})}$ может привести к вычислительным ошибкам при слишком больших или малых значениях переменных. Для обеспечения численной устойчивости используется тождество ${\displaystyle \log(e^{x}+e^{y})=m+\log(e^{x-m}+e^{y-m})}$, где ${\displaystyle m=\max(x,y)}$. Данное преобразование позволяет избежать вычисления экспонент от больших чисел, так как один из показателей степени становится равным нулю, а другой — отрицательным^[8].^[9]

Логарифм ${\displaystyle \log _{a}b}$ по основанию ${\displaystyle a}$ можно преобразовать^[10] в логарифм по другому основанию ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$

Следствие (при ${\displaystyle b=c}$) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

В современных языках программирования вычисление логарифма с произвольным основанием часто реализуется через встроенную функцию натурального логарифма по формуле:^[11][12]

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}}$

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

${\displaystyle {\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}}$

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание ${\displaystyle a^{q}}$ на ${\displaystyle a}$ по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

${\displaystyle \log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n\log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b}$

Ещё одно полезное тождество:

${\displaystyle c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}}$

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию ${\displaystyle a}$ совпадают (равны ${\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{a}c}$), а тогда левая и правая части тождественно равны^[13]. Практическое применение этого тождества позволяет упрощать алгебраические выражения и решать уравнения за счёт перестановки основания степени и числа под знаком логарифма:

• Упрощение выражения: ${\displaystyle 27^{\log _{3}5}=5^{\log _{3}27}=5^{3}=125}$.
• Решение уравнения: ${\displaystyle x^{\log _{2}5}=625}$. Применяя тождество к левой части, получаем ${\displaystyle 5^{\log _{2}x}=5^{4}}$, откуда ${\displaystyle \log _{2}x=4}$ и ${\displaystyle x=16}$.

Прологарифмировав тождество ${\displaystyle c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}}$ по произвольному основанию ${\displaystyle d,}$ получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

${\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c}$

Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:

${\displaystyle \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{d}w=\log _{b}x\cdot \log _{d}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{a}w}$

Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.

${\displaystyle x^{\frac {\log _{a}b}{\log _{a}x}}=b}$

Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию ${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \log _{xy}a={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}a}}+{\frac {1}{\log _{y}a}}}}}$

Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:

${\displaystyle {\frac {1}{\log _{x}a}}=\log _{a}x;\quad {\frac {1}{\log _{y}a}}=\log _{a}y;\quad {\frac {1}{\log _{a}(xy)}}=\log _{xy}a}$

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами^[14]:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)}$^[15]

Этот предел показывает, что при стремлении к плюс бесконечности логарифмическая функция растёт медленнее любой степенной функции с положительным показателем.

${\displaystyle \ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}$

${\displaystyle \ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}}$

При вычислении пределов часто используется замена на эквивалентные бесконечно малые функции. В частности, при ${\displaystyle x\to 0}$ справедливы следующие эквивалентности:

${\displaystyle \ln(1+x)\sim x}$

${\displaystyle \log _{a}(1+x)\sim {\frac {x}{\ln a}}}$^[16]

Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}}$

Определение логарифма через определённый интеграл:

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$

Первообразная для логарифма:

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}$

Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим ${\displaystyle H_{n}\ n-}$е по порядку гармоническое число:

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}}$

Общая формула для ${\displaystyle n}$-кратного интеграла от натурального логарифма имеет вид:

${\displaystyle I^{n}[\ln x]={\frac {x^{n}}{n!}}(\ln x-H_{n})+P_{n-1}(x),}$

где ${\displaystyle P_{n-1}(x)}$ — многочлен степени не выше ${\displaystyle n-1}$, возникающий из-за постоянных интегрирования на каждом шаге.

Основное отличие логарифмических тождеств для комплексных чисел от их аналогов для вещественных чисел заключается в том, что в комплексной области эти тождества, как правило, не выполняются. Это связано с тем, что комплексный логарифм является многозначной функцией^[17]. Для любого комплексного числа ${\displaystyle z}$, представленного в показательной форме ${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$, его логарифм определяется как ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)=\ln(r)+i(\varphi +2\pi k)}$, где ${\displaystyle k}$ — любое целое число. Значение, получаемое при ${\displaystyle k=0}$, называется главным значением логарифма и обозначается ${\displaystyle \ln(z)}$. Из-за возможного выхода аргумента за пределы главного диапазона стандартные логарифмические тождества (логарифм произведения, частного, степени) в общем случае перестают быть верными для главных значений:^[17]

• Тождество для произведения: равенство ${\displaystyle \ln(z_{1}z_{2})=\ln(z_{1})+\ln(z_{2})}$ в общем случае неверно (оно выполняется лишь с точностью до слагаемого, кратного ${\displaystyle 2\pi i}$). При этом более общее равенство справедливо для множеств всех значений логарифма: ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Ln} (z_{1})+\operatorname {Ln} (z_{2})}$^[17].
• Тождество для частного: равенство ${\displaystyle \ln \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)=\ln(z_{1})-\ln(z_{2})}$ для главных значений в общем случае не выполняется^[17]
• Тождество для степени: равенство ${\displaystyle \ln(z^{a})=a\ln(z)}$ для главных значений также, как правило, неверно.

Логарифмические тождества применяются для решения логарифмических уравнений, позволяя упрощать их и сводить к алгебраическим формам. Основная цель таких преобразований — привести уравнение к простейшему виду, например, ${\displaystyle \log _{a}(f(x))=b}$ или ${\displaystyle \log _{a}(f(x))=\log _{a}(g(x))}$. Для этого используются приведение к общему основанию, а также применение свойств суммы и разности для объединения нескольких логарифмов в один.^[18].

Свойства логарифмов и логарифмические шкалы широко используются в физике и инженерии для описания процессов, охватывающих большой диапазон величин. Основные примеры практического применения:

• измерение громкости звука в акустике в децибелах^[19];
• формула Циолковского в аэрокосмической инженерии^[20];
• шкала pH в химии для определения кислотности растворов;
• шкала Рихтера в сейсмологии для измерения магнитуды землетрясений.