Координаты Леметра

Метрика Шварцшильда в системе ${\displaystyle c=G=1}$ дана выражением:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),}$

где ${\displaystyle ds^{2}}$ — интервал;

• ${\displaystyle r_{g}=2M}$ — гравитационный радиус;
• ${\displaystyle M}$ — масса центрального тела;
• ${\displaystyle t,\;r,\;\theta ,\;\varphi }$ — координаты Шварцшильда, асимптотически превращающиеся в плоские сферические координаты;
• ${\displaystyle c}$ — скорость света;
• ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная.

В метрике Шварцшильда присутствует сингулярность на гравитационном радиусе при ${\displaystyle r=r_{g}}$.

Жорж Леметр первым указал, что эта сингулярность не является физической, а является следствием того, что стационарные координаты Шварцшильда невозможно реализовать с помощью физических тел под гравитационным радиусом. Действительно, под гравитационным радиусом все тела, включая лучи света, падают по направлению к центру и никакими силами невозможно удержать физическое тело на постоянном радиусе.

Преобразование от координат Шварцшильда ${\displaystyle \{t,\;r\}}$ к новым координатам Леметра ${\displaystyle \{\tau ,\;\rho \}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}d\tau =dt+{\sqrt {\dfrac {r_{g}}{r}}}{\dfrac {1}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}\,dr;\\d\rho =dt+{\sqrt {\dfrac {r}{r_{g}}}}{\dfrac {1}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}\,dr\end{cases}}}$

приводит к метрике Леметра:

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{g}}{r}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),}$

где

${\displaystyle r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{g}^{1/3}.}$

В координатах Леметра сингулярность на гравитационном радиусе, где ${\displaystyle {\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{g}}$, отсутствует. Истинная же сингулярность в центре, ${\displaystyle \rho -\tau =0}$, сохраняется.

Метрика Леметра является синхронной — тела, неподвижные в координатах Леметра, находятся в состоянии свободного падения в гравитационном поле центрального тела. Вертикально падающие тела достигают гравитационного радиуса и центра за конечное собственное время.

Вдоль траектории луча света

${\displaystyle dr=\left(\pm 1-{\sqrt {\frac {r_{g}}{r}}}\right)\,d\tau ,}$

поэтому никакой сигнал не может выйти за пределы гравитационного радиуса, где всегда ${\displaystyle dr<0}$, и лучи света, испущенные вертикально вверх и вниз, оба оказываются в центре.