Конструкция Штейнера

• Пусть даны два пучка прямых ${\displaystyle B(U),B(V)}$ в точках ${\displaystyle U,V}$ (все прямые, содержащие ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ соответственно) и проективное, но не перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle B(U)}$ в ${\displaystyle B(V)}$. Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение^[2][3][4][5] (изображение 1).

Перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ пучка ${\displaystyle B(U)}$ в пучок ${\displaystyle B(V)}$ — это биекция, такая, что соответствующие прямые пересекаются на фиксированной прямой ${\displaystyle a}$, называемой осью перспективного отображения ${\displaystyle \pi }$ (изображение 2).

Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.

Примеры часто используемых полей — это действительные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$, рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Конструкция также работает над конечными полями, давая примеры в конечных проективных плоскостях.

Замечание: Основная теорема для проективных плоскостей утверждает, что проективное отображение в проективной плоскости над полем однозначно определяется образами трёх прямых.^[6] Это значит, что для конструкции Штейнера, кроме двух точек ${\displaystyle U,V}$ должны быть заданы только образы трёх прямых. Поскольку образ прямой однозначно определяется точкой пересечения с образом, отсюда следует, что коника однозначно определяется пятью лежащими на ней точками.

В следующем примере известны образы трёх прямых ${\displaystyle a,u,w}$ (см. изображение 3): ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Проективное отображение ${\displaystyle \pi }$ является композицией перспективных отображений ${\displaystyle \pi _{b},\pi _{a}}$: 1) ${\displaystyle \pi _{b}}$ — это перспективное отображение пучка в точке ${\displaystyle U}$ на пучок в точке ${\displaystyle O}$ с осью ${\displaystyle b}$. 2) ${\displaystyle \pi _{a}}$ — это перспективное отображение пучка в точке ${\displaystyle O}$ на пучок в точке ${\displaystyle V}$ с осью ${\displaystyle a}$. Нужно проверить, что ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b}}$ обладает следующими свойствами: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Таким образом, для произвольной прямой ${\displaystyle g}$ может быть построен её образ ${\displaystyle \pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)}$. Прямые ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ содержат только точки коники ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ соответственно. Следовательно, ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ являются касательными к построенной конике.

Доказательство того, что этот метод позволяет построить конику, производится путём перехода к аффинной карте, в которой прямая ${\displaystyle w}$ является бесконечно удалённой прямой, точка ${\displaystyle O}$ — началом координат, точки ${\displaystyle U,V}$ — точками на бесконечности, соответствующими осям x и y соответственно. и точка ${\displaystyle E=(1,1)}$. Аффинная часть построенной коники оказывается гиперболой ${\displaystyle y=1/x}$.^[4]