С 1982 года работает в БФУ им. И. Канта (ранее Калининградский государственный университет и Российский государственный университет им. И. Канта) на должностях ассистента, доцента, заведующего научно-исследовательской лабораторией, заместителя директора по научной работе научно-исследовательского института комплексного исследования региона, директора центра дополнительного профессионального образования, проректора. С 1998 по 2011 год являлся ректором РГУ им. И. Канта. Распоряжением Правительства Российской Федерации от 25 февраля 2011 года № 284-р назначен ректором Балтийского федерального университета имени Иммануила Канта.[источник не указан 747 дней]
Сфера научных интересов профессора А. П. Клемешева — региональная политика, региональное управление, исследование калининградского социума, стратегия развития области. Имеет более 140 научных работ, из них 19 монографий, в том числе «Российский эксклав: преодоление конфликтогенности», «Глобализация, регионализация и проблемы эксклавов». В 2012 году под его редакцией был издан сборник научных трудов «Политические элиты в старых и новых демократиях».[источник не указан 747 дней] Он возглавляет редакционный совет журналов «Балтийский регион» и «Вестник БФУ им. И. Канта».[источник не указан 747 дней]
А. П. Клемешев является членом правления Российского союза ректоров, первым вице-президентом Российской ассоциации политической науки, членом президиума Совета по политологии Учебно-методического объединения по классическому университетскому образованию, членом Руководящего совета Российской ассоциации международных исследований, членом Российского совета олимпиад школьников, членом общественно-политического совета при Губернаторе Калининградской области, председателем Совета ректоров вузов области. Является членом Общественной палаты Российской Федерации V состава (2014-17 гг.).[источник не указан 747 дней]
А. П. Клемешева часто критикуют за коррупцию, а также провластную позицию и совмещение работы на посту ректора БФУ с политической деятельностью. В 2010 года он призвал организаторов калининградских протестных акций «не жертвовать здоровьем калининградцев и не выводить население в снег и метель на митинг». В 2016 году Клемешева избрали депутатом Калининградской областной думы, а уже в 2017 году студент был отчислен из БФУ за политическую деятельность[5]. 14 июля на заседании дискуссионного клуба Клемешеву вручили шутливое обращение с требованием переименовать Балтийский Федеральный Университет им. Иммануила Канта в университет имени Л. П. Берии[6], а 16 июля на площади Василевского прошел многолюдный пикет[7][8][9] в поддержку отчисленного Олега Алексеева, участники которого потребовали восстановить студента и уволить Андрея Павловича Клемешева с поста ректора БФУ за политическое давление на студентов университета. История с отчислением вызвала широкий резонанс в федеральной прессе[10][11] и могла повлиять на международный имидж БФУ[12].