Кестен, Гарри

Гарри Кестен родился в Дуйсбурге, Германия, в 1931 году^[8][9]. Вырос в Нидерландах, куда переехал с родителями в 1933 году, спасаясь от нацистов. Пережив Холокост, Кестен сначала изучал химию, а затем теоретическую физику и математику в Амстердамском университете. В 1956 году он переехал в США и в 1958 году получил степень доктора философии по математике в Корнеллском университете под руководством Марка Каца. Он работал преподавателем в Принстонском университете и Еврейском университете, а в 1961 году вернулся в Корнелл^[8].

Кестен умер 29 марта 2019 года в Итаке в возрасте 87 лет^[9].

Работы Кестена включают множество фундаментальных вкладов почти во все области теории вероятностей^[8][10][11], среди которых выделяются следующие.

• Случайные блуждания на группах. В своей докторской диссертации 1958 года Кестен изучал симметричные случайные блуждания на счётных группах G, порождённые распределением скачков с носителем G. Он показал, что спектральный радиус равен экспоненциальной скорости убывания вероятностей возврата^[12]. Позже он доказал, что это значение строго меньше 1 тогда и только тогда, когда группа является неаменабельной^[13]. Последний результат известен как критерий аменабельности Кестена. Он вычислил спектральный радиус d-регулярного дерева, равный ${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {d-1}}}{d}}}$.
• Произведения случайных матриц. Пусть ${\displaystyle Y_{n}=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}$ — произведение первых n элементов эргодической стационарной последовательности случайных матриц размера ${\displaystyle k\times k}$. Совместно с Гиллелем Фюрстенбергом в 1960 году Кестен показал сходимость ${\displaystyle n^{-1}\log ^{+}\|Y_{n}\|}$ при условии ${\displaystyle E(\log ^{+}\|X_{1}\|)<\infty }$^[14].
• Самоизбегающие блуждания. Теорема Кестена о пределе отношения утверждает, что число ${\displaystyle \sigma _{n}}$ n-шаговых самоизбегающих блужданий из начала координат на целочисленной решётке удовлетворяет условию ${\displaystyle \sigma _{n+2}/\sigma _{n}\to \mu ^{2}}$, где ${\displaystyle \mu }$ — константа связности. Этот результат остаётся неулучшенным, несмотря на значительные усилия^[15]. В своём доказательстве Кестен доказал теорему о шаблоне, которая гласит, что для правильного внутреннего шаблона P существует ${\displaystyle \alpha }$ такое, что доля блужданий, содержащих менее ${\displaystyle \alpha n}$ копий P, экспоненциально меньше ${\displaystyle \sigma _{n}}$^[16].
• Ветвящиеся процессы. Кестен и Стигум показали, что правильным условием сходимости размера популяции, нормированного на его среднее значение, является ${\displaystyle E(L\log ^{+}L)<\infty }$, где L — типичный размер семьи^[17]. Совместно с Неем и Франком Спитцером Кестен нашёл минимальные условия для асимптотических свойств распределения критического ветвящегося процесса, которые ранее были открыты Колмогоровым и Акивой Ягломом при более сильных предположениях^[18].
• Случайное блуждание в случайной среде. Совместно с Козловым и Франком Спитцером Кестен доказал глубокую теорему о случайном блуждании в одномерной случайной среде. Они установили предельные законы для блуждания в различных ситуациях, которые могут возникнуть в среде^[19].
• Диофантовы приближения. В 1966 году Кестен разрешил гипотезу Пауля Эрдёша и Сюса о расхождении иррациональных вращений. Он изучил расхождение между числом вращений на ${\displaystyle \xi }$, попадающих в заданный интервал I, и длиной I, и доказал, что оно ограничено тогда и только тогда, когда длина I кратна ${\displaystyle \xi }$.
• Агрегация, ограниченная диффузией. Кестен доказал, что скорость роста ветвей в d измерениях не может превышать ${\displaystyle n^{2/(d+1)}}$^[20][21].
• Перколяция. Самая известная работа Кестена в этой области — доказательство того, что критическая вероятность перколяции связей на квадратной решётке равна 1/2^[22]. За этим последовало систематическое изучение перколяции в двух измерениях, описанное в его книге «Теория перколяции для математиков» (Percolation Theory for Mathematicians). Его работа по теории скейлинга и скейлинговым соотношениям впоследствии стала ключевой для понимания связи между критической перколяцией и эволюцией Шрамма — Лёвнера^[23].
• Перколяция первого прохождения. Результаты Кестена для этой модели роста в значительной степени обобщены в работе «Аспекты перколяции первого прохождения» (Aspects of First Passage Percolation)^[24]. Он изучал скорость сходимости к постоянной времени и внёс вклад в темы субаддитивных стохастических процессов и концентрации меры. Он разработал задачу о максимальном потоке через среду со случайными пропускными способностями.

В 1999 году в честь Кестена был издан сборник статей^[25]. Мемориальный том журнала Probability Theory and Related Fields, посвящённый Кестену^[26], содержит полный список его публикаций.

• с Марком Кацем: Kac, M.; Kesten, Harry (1958). “On rapidly mixing transformations and an application to continued fractions”. Bull. Amer. Math. Soc. 64 (5): 283—287. DOI:10.1090/s0002-9904-1958-10226-8. MR 0097114; correction 65 1958 p. 67
• Kesten, Harry (1959). “Symmetric random walks on groups”. Trans. Amer. Math. Soc. 92 (2): 336—354. DOI:10.1090/s0002-9947-1959-0109367-6. MR 0109367.
• Kesten, Harry (1962). “Occupation times for Markov and semi-Markov chains”. Trans. Amer. Math. Soc. 103: 82—112. DOI:10.1090/s0002-9947-1962-0138122-6. HDL:2027/mdp.39015095249648. MR 0138122.
• Kesten, Harry (1962). “Some probabilistic theorems on Diophantine approximations”. Trans. Amer. Math. Soc. 103 (2): 189—217. DOI:10.1090/s0002-9947-1962-0137692-1. MR 0137692.
• со Збигневом Цесельским: “A limit theorem for the fractional parts of the sequence {2^kt}”. Proc. Amer. Math. Soc. 13: 596—600. 1962. DOI:10.1090/s0002-9939-1962-0138612-1. MR 0138612.
• с Доном Орнстейном и Франком Спитцером: Kesten, H.; Ornstein, D.; Spitzer, F. (1962). “A general property of random walk”. Bull. Amer. Math. Soc. 68 (5): 526—528. DOI:10.1090/s0002-9904-1962-10808-8 (inactive September 13, 2025). MR 0142160.
• Kesten, Harry (1969). “A convolution equation and hitting probabilities of single points for processes with stationary independent increments”. Bull. Amer. Math. Soc. 75 (3): 573—578. DOI:10.1090/s0002-9904-1969-12245-7 (inactive September 13, 2025). MR 0251797.
• Kesten, Harry (1971). “Some linear stochastic growth models”. Bull. Amer. Math. Soc. 77 (4): 492—511. DOI:10.1090/s0002-9904-1971-12732-5. MR 0278404.
• Hitting probabilities for single points for processes of stationary independent increments. — Providence, R.I. : AMS, 1969.
• Kesten, Harry (1975). “Sums of stationary sequences cannot grow slower than linearly”. Proc. Amer. Math. Soc. 49: 205—211. DOI:10.1090/s0002-9939-1975-0370713-4. MR 0370713.
• “Erickson's conjecture on the rate of d-dimensional random walk”. Trans. Amer. Math. Soc. 240: 65—113. 1978. DOI:10.1090/s0002-9947-1978-0489585-x. MR 0489585.
• Percolation theory for mathematicians. — Stuttgart : Birkhäuser, 1982. — ISBN 3-7643-3107-0.^[27]
• Kesten, Harry (1987). “Percolation theory and first-passage percolation”. Ann. Probab. 15 (4): 1231—1271. DOI:10.1214/aop/1176991975.
• “What is Percolation?” (PDF). Notices of the AMS. 2006.
• с Джеффри Гримметтом: Percolation at Saint-Flour. — Heidelberg : Springer, 2012. — doi:10.1007/BFb0092620.