Треугольная квантовая яма

Уравнение Шрёдингера для частицы в однородном поле имеет вид^[2]:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar \;^{2}}}(E-Fx)\psi =0\,.}$

Граничные условия описывают абсолютно упругое отражение от потенциальной стенки при ${\displaystyle x=0}$^[4] и убывание решения в классически недоступной области ${\displaystyle Fx>E}$ при ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$ ^[1]:

${\displaystyle \psi (x=0)=0,\qquad \psi (x\rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.}$

Здесь ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle \psi }$ — искомые энергия и волновая функция частицы.

Для упрощения дальнейшего рассмотрения вводится безразмерная переменная^[2]

${\displaystyle \xi =\alpha \left(x-{\frac {E}{F}}\right)\,,}$

где ${\displaystyle \alpha =\left({\frac {2mF}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/3}}$. При использовании новой переменной задача сводится к решению уравнения Эйри

${\displaystyle \psi ''(\xi )-\xi \psi (\xi )=0\,}$

с граничными условиями

${\displaystyle \psi \left(-\alpha {\frac {E}{F}}\right)=0,\quad \psi (\xi \rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.}$

Общее решение уравнения Эйри имеет вид^[5]:

${\displaystyle \psi (\xi )=CAi(\xi )+DBi(\xi )\,,}$

где ${\displaystyle Ai}$ и ${\displaystyle Bi}$— функции Эйри 1-го и 2-го рода имеют при больших ${\displaystyle \xi \rightarrow +\infty }$ следующие асимптотики^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(\xi )&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}\xi ^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,\xi ^{1/4}}}\,,\\\mathrm {Bi} \,(\xi )&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}\xi ^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\xi ^{1/4}}}\,.\end{aligned}}}$

При отрицательных значениях ${\displaystyle \xi }$ функции Эйри осциллируют и имеют бесконечное число нулей. Из граничного условия на бесконечности ${\displaystyle \xi \rightarrow +\infty }$ и экспоненциального роста ${\displaystyle Bi(\xi \rightarrow +\infty )}$ следует, что константа ${\displaystyle D=0}$ , то есть решение задачи следует искать в виде^[4]:

${\displaystyle \psi (\xi )=CAi(\xi )\,.}$

Собственные значения энергии частицы ${\displaystyle E=E_{n}}$ (${\displaystyle n=1,\,\,2,..}$) в треугольной яме определяются из условия обращения в нуль волновой функции на границе бесконечной потенциальной стенки^[4]:

${\displaystyle \psi _{n}\left(\xi _{n}=-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=C_{n}Ai\left(-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=0\,,}$

где ${\displaystyle \xi _{n}=-a_{n}}$ — нули функции Эйри. В результате находим дискретный спектр энергий^[1],

${\displaystyle E_{n}={\frac {Fa_{n}}{\alpha }}={\frac {\hbar ^{2}\alpha ^{2}a_{n}}{2m}}\,,}$

а соответствующая дискретному уровню ${\displaystyle E_{n}}$волновая функция имеет вид:

${\displaystyle {{\psi }_{n}}\left(x\right)=C_{n}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)\,.}$

Для первых пяти нулей значения ${\displaystyle a_{n}}$ приближенно равны: ${\displaystyle a_{1}=2,338}$, ${\displaystyle a_{2}=4,088}$, ${\displaystyle a_{3}=5,521}$, ${\displaystyle a_{4}=6,787}$, ${\displaystyle a_{5}=7,944}$^[4]. При больших ${\displaystyle n\gg 1}$ нули функций Эйри определяются выражением^[7]:

${\displaystyle a_{n}\approx \left[{\frac {3\pi }{2}}\,\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]^{2/3}\,.}$

Значения констант ${\displaystyle C_{n}}$ находится из условия нормировки^[8]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{n}\left(x\right)\right|}^{2}}=1\,.}$

Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции, которая вещественна^[9],

${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int \limits _{-{{a}_{n}}}^{\infty }{d\xi }A{{i}^{2}}\left(\xi \right)=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[\xi A{{i}^{2}}\left(\xi \right)-{{\left(A{i}'\left(\xi \right)\right)}^{2}}\right]_{\xi =-{{a}_{n}}}^{\infty }=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left(A{i}'\left(-{{a}_{n}}\right)\right)}^{2}}=1,\\\end{aligned}}}$

находим нормировочные константы, которые зависят от номера квантового уровня:

${\displaystyle {{C}_{n}}={\frac {{\alpha }^{1/2}}{Ai'\left(-{{a}_{n}}\right)}}\,,}$

где ${\displaystyle Ai'(\xi )}$ — производная функции Эйри.

Функции ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ортогональны. В этом можно убедиться, вычислив интеграл от произведения волновых функций, принадлежащих разным квантовым состояниям ${\displaystyle n\neq m}$^[10]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{C}_{n}}{{C}_{m}}\int \limits _{0}^{\infty }{dx}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)=\\&{\frac {{{C}_{n}}{{C}_{m}}}{\alpha \left({{a}_{m}}-{{a}_{n}}\right)}}\left[A{i}'\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)-\right.\\&\left.Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)A{i}'\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)\right]_{x=0}^{\infty }=0.\\\end{aligned}}}$

Для рассматриваемой ямы волновые функции экспоненциально убывают ${\displaystyle Ai\left(\alpha x-a_{n}\right)\sim {{x}^{-1/4}}\exp \left(-2{{(\alpha x)}^{3/2}}/3\right)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$ и отличны от нуля при сколь угодно больших расстояниях ${\displaystyle x}$. Ширина классически доступной (${\displaystyle E_{n}>U(x)}$) области находится из условия

${\displaystyle U(x_{n})=Fx_{n}=E_{n}}$

и составляет^[4]

${\displaystyle x_{n}={\frac {a_{n}}{\alpha }}.}$

Значения ${\displaystyle x_{n}}$ схематически показаны на рисунке 1.