Квантовая искусственная жизнь

Способность к саморепликации — ключевая характеристика жизни. Саморепликация осуществляется в процессе взаимодействия генотипа особи со служебным состоянием, в результате чего возникает генотип новой особи; далее этот новый генотип взаимодействует с иным служебным состоянием для формирования фенотипа. При этой процедуре необходим перенос информации о начальном состоянии в служебное состояние, однако теорема о не клонировании запрещает точное копирование произвольного неизвестного квантового состояния^[3]. Тем не менее, физики разработали методы квантового клонирования, которые не требуют полного копирования состояния. Подход, реализованный Альварес-Родригесом и соавторами^[2], основан на клонировании среднего значения некоторой наблюдаемой величины^[4]. Для унитарного оператора ${\displaystyle U}$, копирующего ожидание некоторого множества наблюдаемых ${\displaystyle {\mathsf {X}}}$ состояния ${\displaystyle \rho }$ в пустое состояние ${\displaystyle \rho _{e}}$, квантовая машина клонирования определяется тройкой ${\displaystyle (U,\rho _{e},{\mathsf {X}})}$^[5], если выполняется следующее:

${\displaystyle \forall \rho \forall X\in {\mathsf {X}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}={\bar {X_{1}}}={\bar {X_{2}}}}$

где ${\displaystyle {\bar {X}}}$ — среднее значение наблюдаемой в ${\displaystyle \rho }$ до клонирования; ${\displaystyle {\bar {X_{1}}}}$ — среднее этой наблюдаемой в ${\displaystyle \rho }$ после клонирования; ${\displaystyle {\bar {X_{2}}}}$ — среднее значение в ${\displaystyle \rho _{e}}$ после клонирования. Машина клонирования не зависит от ${\displaystyle \rho }$, чтобы обеспечить универсальность по отношению ко всем начальным состояниям. Отметим, что клонирование среднего значения наблюдаемой позволяет передавать больше информации, чем допускается классической теорией^[5]. Вычисление среднего определяется выражениями^[5]:

${\displaystyle {\bar {X}}=Tr[\rho X]}$, ${\displaystyle {\bar {X_{1}}}=Tr[RX\otimes I]}$, ${\displaystyle {\bar {X_{2}}}=Tr[RI\otimes X]}$, где ${\displaystyle R=U\rho \otimes \rho _{e}U^{\dagger }}$.

Наиболее простой вариант квантовой машины клонирует среднее значение ${\displaystyle \sigma _{z}}$ в произвольном состоянии ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$ на ${\displaystyle \rho _{e}=|0\rangle \langle 0|}$ с помощью унитарного преобразования ${\displaystyle U=CNOT}$. Такой механизм использован для реализации саморепликации в работе Альварес-Родригеса и соавторов. Процесс саморепликации требует только взаимодействия двух кубитов, поэтому данной машины достаточно.

Взаимодействие между особями происходит, когда они занимают одну ячейку сетки среды. Оно предоставляет преимущество особям с более короткой продолжительностью жизни. При встрече двух особей происходит возможный обмен информацией между их фенотипами: если управляющие кубиты (генотипы) совпадают, обмена не происходит, если разные — происходит обмен целевых кубитов (фенотипов). Эта процедура порождает динамику хищник-жертва. Следовательно, «долгоживущие» кубиты с большими генетическими ресурсами оказываются в невыгодном положении, тогда как «короткоживущие» имеют преимущество за счёт большего числа возможных взаимодействий.

В искусственной квантовой среде мутации встречаются с ограниченной вероятностью, как и в природе. Существуют два вида мутаций: за счёт случайных одно-кубитных вращений и в результате ошибок саморепликации. Первая осуществляется оператором M, который вращает отдельный кубит на случайный угол θ для повышения биоразнообразия. Оператор M — унитарная матрица, описываемая как:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&sin(\theta )\\sin(\theta )&-cos(\theta )\end{pmatrix}}}$

Второй способ — за счёт ошибок процесса клонирования. Согласно теореме о не клонировании, невозможно получить идеальные копии неизвестных состояний^[3], однако квантовые машины клонирования позволяют создавать неточные копии, вводя определённую ошибку^[6]. Ошибка клонирования становится причиной второго типа мутаций в эксперименте по квантовой искусственной жизни. Неточная операция клонирования описывается как:

${\displaystyle U_{M}(\theta )=\mathrm {I} _{4}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}}(cos\theta +isin\theta +1)}$

Два вида мутаций оказывают разное влияние на особь: случайный оператор M не затрагивает фенотип, тогда как ошибка саморепликации (операция U_M) изменяет и генотип, и продолжительность жизни особи.

Наличие мутаций в эксперименте по квантовой искусственной жизни критически важно для обеспечения случайности и биоразнообразия, а также увеличивает реалистичность и точность моделирования^[2].

В момент создания особи (при копировании генотипа в фенотип) фенотип начинает взаимодействовать с окружающей средой. По мере эволюции системы взаимодействие приводит к старению и, в итоге, к смерти особи^[2]. Смерть наступает, когда ожидание ${\displaystyle \sigma _{z}}$ фенотипа близко к 1 с точностью до ${\displaystyle \epsilon }$, то есть когда ${\displaystyle \rho _{p}=|0\rangle \langle 0|}$.

Взаимодействие фенотипа со средой описывается линдбладианом: ${\displaystyle {\dot {\rho }}=\gamma (\sigma \rho \sigma ^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\sigma ^{\dagger }\sigma \rho -{\frac {1}{2}}\rho \sigma ^{\dagger }\sigma )}$, где ${\displaystyle \sigma =I\otimes |0\rangle \langle 1|}$, ${\displaystyle \rho =\rho _{g}\otimes \rho _{p}}$. Такое взаимодействие вызывает экспоненциальное затухание фенотипа с течением времени, в то время как генетический материал (генотип) сохраняется и наследуется следующими поколениями. Исходное состояние генотипа записывается как:

${\displaystyle \rho _{g}={\begin{pmatrix}a&b-ic\\b+ic&1-a\\\end{pmatrix}}}$

Ожидания генотипа и фенотипа вычисляются по формулам:

${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle _{g}=2a-1}$, ${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle _{p}=1-2e^{\gamma t}(1-a)}$, где 'a' — генетический параметр. При увеличении 'a' продолжительность жизни уменьшается, а чем ближе начальное состояние к ${\displaystyle |1\rangle \langle 1|}$, тем выше ожидаемая продолжительность жизни.

Когда ${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle _{p}=1-\epsilon }$, особь считается погибшей; фенотип используется как служебное состояние для новой особи. Таким образом, цикл становится самоподдерживающимся.