Псевдохарактер

Дефектом квазихарактера ${\displaystyle f}$ называется супремум

${\displaystyle D_{f}:=\sup _{x,y\in G}|f(xy)-f(x)-f(y)|}$.

Дефект равен нулю тогда и только тогда, когда квазихарактер является гомоморфизмом. В этом случае квазихарактер называется характером^[3].

Два квазихарактера ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ называются асимптотически эквивалентными, если следующий супремум конечен:

${\displaystyle \|f-g\|_{\infty }:=\sup _{x\in G}|f(x)-g(x)|}$.

Квазиморфизм называется тривиальным, если он асимптотически эквивалентен гомоморфизму. Примером такого квазиморфизма является произвольная ограниченная числовая функция на группе.

Множество всех квазихарактеров на группе ${\displaystyle G}$ обозначается символом ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$. Оно является подпространством вещественного векторного пространства всех функционалов ${\displaystyle G\to \mathbb {R} }$, рассматриваемых с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Иными словами, определяющее свойство квазихарактера сохраняется при сложении и умножении на скаляры.

Дефект является квазинормой на пространстве ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$^[4].

Множество всех псевдохарактеров на группе ${\displaystyle G}$ является векторным подпространством пространства ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$ и обозначается символом ${\displaystyle {\mathcal {PX}}(G)}$. Оно содержит в качестве векторного подпространства группу гомоморфизмов ${\displaystyle {\rm {Hom}}(G,\mathbb {R} )}$.

Каждый квазихарактер ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} }$ можно следующим образом превратить в псевдохарактер. Положим

${\displaystyle {\overline {f}}(x):=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x^{n})}{n}}}$.

Тогда данный предел всегда существует, а функция ${\displaystyle {\overline {f}}\colon G\to \mathbb {R} }$ является псевдохарактером, дефект которого не превосходит ${\displaystyle 4D_{f}}$, и выполняется неравенство ${\displaystyle \|f-{\overline {f}}\|_{\infty }\leq D_{f}}$^[5]. Более того, функция ${\displaystyle {\overline {f}}}$ является единственным псевдохарактером, асимптотически эквивалентным квазихарактеру ${\displaystyle f}$^[4].

Отображение ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$, ставящее в соответствие квазихарактеру связанный с ним псевдохарактер, линейно, непрерывно (относительно определённой выше квазинормы) и является проектором ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)\to {\mathcal {PX}}(G)}$^[4]. В частности, если квазихарактер ${\displaystyle f}$ является псевдохарактером, то ${\displaystyle {\overline {f}}=f}$.

С помощью данного проектора пространство ${\displaystyle {\mathcal {PX}}(G)}$ возможно отождествить с множеством классов асимптотической эквивалентности квазихарактеров. Или, что то же самое, с факторпространством пространства ${\displaystyle {\mathcal {X}}(G)}$ по подпространству квазихарактеров, асимптотически эквивалентных нулевому квазихарактеру.

Пусть ${\displaystyle F(S)}$ — свободная группа с базисом ${\displaystyle S}$. С каждым приведённым словом ${\displaystyle w\in F(S)}$ следующим образом свяжем пару квазихарактеров на ${\displaystyle F(S)}$.

Для ${\displaystyle x\in F(S)}$ положим ${\displaystyle C_{w}(x)}$ равным количеству вхождений слова ${\displaystyle w}$ в приведённое слово-представителя элемента ${\displaystyle x}$. Например, при ${\displaystyle S=\{a\}}$ имеем ${\displaystyle C_{aa}(aaaa)=3}$. Далее, положим ${\displaystyle C_{w}(x)}$ равным наибольшему значению количества непересекающихся вхождений слова ${\displaystyle w}$ в приведённое слово-представителя элемента ${\displaystyle x}$. Например, ${\displaystyle C_{aa}(aaaa)=2}$.

Определим ${\displaystyle H_{w}(x):=C_{w}(x)-C_{w^{-1}}(x)}$ и ${\displaystyle h_{w}(x):=c_{w}(x)-c_{w^{-1}}(x)}$. Функции ${\displaystyle H_{w}}$ и ${\displaystyle h_{w}}$ являются квазихарактерами на свободной группе ${\displaystyle F(S)}$ и называются, соответственно, большой считающей (от англ. big counting) и малой считающей (от англ. little counting). Большие считающие квазихарактеры были введены Робертом Бруксом и иногда называются функциями Брукса, а малые считающие квазихарактеры были введены Дэвидом Эпстейном и Кодзи Фудзиварой^[12].

Например, при ${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ и ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ имеем ${\displaystyle H_{x_{i}}=h_{x_{i}}}$, причем квазихарактеры ${\displaystyle H_{x_{1}},H_{x_{2}},\ldots ,H_{x_{n}}}$ являются гомоморфизмами и порождают группу гомоморфизмов ${\displaystyle {\rm {Hom}}(F(S),\mathbb {Z} )}$^[10].

Дефект большого считающего квазихарактера ${\displaystyle H_{w}}$ не превосходит числа ${\displaystyle 3\cdot (|w|-1)}$, где символ ${\displaystyle |w|}$ обозначает количество букв в слове ${\displaystyle w}$. Данная оценка точна, как показывает пример ${\displaystyle w=abababababa}$. Однако дефект малого считающего квазихарактера ${\displaystyle h_{w}}$ всегда не превосходит трёх. Более того, он равен нулю только если ${\displaystyle |w|=1}$, равен двойке только если ${\displaystyle w}$ имеет вид ${\displaystyle w_{1}w_{2}w_{1}^{-1}}$, ${\displaystyle w_{1}w_{2}w_{1}^{-1}w_{3}}$ или ${\displaystyle w_{1}w_{2}w_{3}w_{2}^{-1}}$, а иначе равен единице^[13].