Использование свойств и графиков функций при решении неравенств (ЕГЭ-ОГЭ)

При решении неравенств используют аналитические и графические методы. В обоих случаях важно учитывать свойства функций и особенности их графиков.

Монотонность, ограниченность, чётность или нечётность являются ключевыми при решении многих неравенств: применение этих свойств в ряде случаев позволяет обойтись без громоздких преобразований. Поэтому такой подход считается наиболее рациональным.

Функцию называют чётной, если её график симметричен относительно оси ОУ. В этом случае при значениях ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle -x}$ функция принимает одинаковые значения: ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$.

К примерам чётных функций относятся квадратичная функция, график которой представляет собой парабола с вершиной в начале координат, а также функции, выражение которых заключено в модуль. Среди тригонометрических функций единственной чётной является косинус.

Если график функции симметричен относительно начала координат, её называют нечётной: ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$.

Нечётными являются, например, функции нечётной степени и функция синуса.

Существует множество функций, которые не относятся ни к чётным, ни к нечётным.

Функция ${\displaystyle y=f(x)}$ называется периодической с периодом ${\displaystyle T}$, если для любого ${\displaystyle x}$ из области определения ${\displaystyle X}$ выполняются равенства ${\displaystyle f(x-T)=f(x)=f(x+T)}$. К периодическим функциям относятся все тригонометрические функции.

Нулём функции называют такое значение аргумента (абсциссы), при котором функция обращается в ноль. Поиск нулей функций эквивалентен решению уравнений, так как ноль соответствует точке пересечения графика с осью ОХ.

Промежутки знакопостоянства — это отрезки, на которых функция сохраняет один и тот же знак, то есть принимает только положительные или только отрицательные значения.

Нули функции разбивают числовую прямую на интервалы, и именно чередование знаков на этих промежутках определяет решение неравенств высокой степени.

Функция называется монотонно возрастающей на отрезке [a, b], если для любых ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ из этого отрезка выполняется ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$. Аналогично функцию называют монотонно убывающей на отрезке [a, b], если для любых ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ справедливо ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})}$.

Если на некотором участке в точке ${\displaystyle x_{0}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{0})(f(x_{1})>f(x_{0}))}$, то точку ${\displaystyle x_{0}}$ называют максимумом (минимумом) функции, то есть точкой, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются экстремумами функции. Обозначим такие точки как ${\displaystyle x_{max}}$ и ${\displaystyle x_{min}}$.

Критическими точками называют точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует. Если в критической точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то данная точка будет точкой максимума, если вторая производная меньше нуля, и точкой минимума, если она больше нуля.

Это одно из наиболее важных свойств функций, применяемых при решении неравенств, поскольку ОДЗ позволяет сразу же исключить посторонние решения.

Область допустимых значений — это множество всех действительных значений переменной ${\displaystyle x}$, при которых функция определена. Для определения ОДЗ анализируют соответствие и выявляют запретные операции (деление на ноль, возведение отрицательного числа в рациональную степень, вычисление логарифма от отрицательного аргумента и т. п.). Иногда это позволяет доказать, что уравнение или неравенство не имеют решений, а иногда — найти их непосредственной подстановкой.