Ингем, Альберт

Родился 3 апреля 1900 года в Нортгемптоне. Учился в Стаффордской гимназии. С 1919 года благодаря стипендии стал студентом Тринити-колледжа в Кембридже после нескольких месяцев военной службы во время Первой мировой войны. Отличился на экзаменах Трайпос в Кембридже и в 1921 году получил премию Смита. В 1922 году избран членом Тринити-колледжа. В том же году получил степень магистра под руководством Джона Идензора Литлвуда^[2]. Затем посвятил себя исследованиям, в том числе во время пребывания в Гёттингенском университете. В 1926 году стал преподавателем в Университете Лидса. С 1930 года снова работал в Кембридже в качестве лектора, а в 1953 году стал преподавателем. В 1945 году избран в Лондонское королевское общество.

Ингем руководил диссертациями Колина Брайана Хейзелгроува, Вольфганга Генриха Иоганнеса Фукса, Кристофера Хули и Роберта Александра Ранкина^[2]. Погиб в результате несчастного случая во время экскурсии в Шамони 6 сентября 1967 года.

Работал в области аналитической теории чисел, в частности над дзета-функцией Римана и распределением простых чисел. Его книга The distribution of primes, изданная в 1932 году^[3] и посвящённая этой теме, долгое время была справочным пособием. Он также внёс вклад в теорию рядов и тауберовы теоремы в смысле Норберта Винера.

В 1919 году Ингем предложил метод, с помощью которого можно было бы найти контрпример к гипотезе Пойи, утверждающей, что для любого натурального числа ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\lambda (n)\leq 0}$,

где ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega }(n)}$, а ${\displaystyle \Omega (n)}$ — количество простых множителей числа ${\displaystyle n}$ (с учётом кратности). Гипотеза оказалась неверной, что показал Колин Брайан Хейзелгроув. Кроме того, Р. Шерман Леман привёл контрпример в 1960 году; наименьший контрпример ${\displaystyle N=906150257}$ был найден Минору Танакой в 1980 году.

В 1937 году Ингем доказал, улучшив более ранний результат Гвидо Хохайзеля, что

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{5/8}}$,

где ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-е простое число, а ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-й интервал между простыми числами. Этот результат следует из его неравенства

${\displaystyle \pi \left(x+x^{\theta }\right)-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log x}}}$

для любого ${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c)}$, где ${\displaystyle \pi }$ — функция распределения простых чисел, а ${\displaystyle c}$ — положительная константа, для которой дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta }$ удовлетворягает неравенству

${\displaystyle \zeta \left(1/2+it\right)=O\left(t^{c}\right)}$.