Изофот

Изофоты применяются в случаях, когда требуется построить изоповерхности — в астрономии это изоповерхности яркости галактик или других протяжённых источников света, в физике — изоповерхности яркости или интенсивности излучения, например, в пламёнах, пятнах рассеяния или интерференционных картинах, в фотографических методах контроля оптических систем, изофотометрии, в системах автоматизированного управления — для оптического контроля гладкости поверхностей и их стыков, в архитектуре — для построения линий равной освещённости (равного тона) на поверхностях вращения и многогранных поверхностях архитектурных объектов, и др.

Построение изоповерностей — распространённая задача в разных областях физики. Например, при изучении структуры пламени вначале получают фотографии пламени, а затем строят изофоты, что позволяет выделить зоны распределения яркости по высоте и вдоль диаметральной плоскости пламени, а на основании этих данных — получить карту температур пламён, получаемых при разных концентрациях сгорающих веществ. Таким образом, оптическими методами с помощью построений изофот можно изучать структуру пламён, не внося в них измерительных инструментов (зондов), то есть не нарушая структуру пламени измерительными инструментами.

В интерферометрии для повышения точности измерений интерференционные картины подвергают анализу с точки зрения выделения зон равных интенсивностей, в частности, центров полос (фактически, изофот). На рисунке 2 слева показана интерференционная картина, полученная от края тонкой плёнки, нанесённой на плоскую полированную поверхность, с помощью классического микроинтерферометра Линника, справа — она же, обработанная в программе Areas, с помощью которой выделили систему линий центров интерференционных полос для вычисления толщины измеряемой тонкой плёнки. Это позволило повысить точность измерений толщины тонкой плёнки путём выделения линий центров интерференционных полос — изофот, что доказало инвариантность данного преобразования интерференционных картин в изофоты, анализируемые методами изофотометрии.

Аналогичные методы применяются и для анализа оптических изображений, полученных в результате рассеяния света — пятнах рассеяния. Широко распространены методы применения изофот для анализа фотографических изображений различных объектов, включая физические, биологические и др.

В астрономии и астрофотометрии изофотой называют кривую на изображении объекта, проходящую через точки с одинаковой поверхностной яркостью^[1], как правило, для протяжённых объектов (например, галактик), а иногда — через точки с равными значениями блеска и цвета звёзд. Таким образом получают карты распределения изоповерностей яркости галактик и звёзд. Они позволяют понять и оценить структуру поверхности галактик от центра к периферии и распределение не только профилей изоповерхностей яркости, но и вещества^[2]. Помимо видимого излучения, изофоты могут использоваться в любом диапазоне длин волн, например, в инфракрасном, что хорошо видно на рисунке 3, демонстрирующем ИК-фотографию и изофоты галактики NGC 5247.

В 1830—1840-х гг. сравнение блеска звёзд и вычисления звёздных величин производилось с помощью визуальных астрофотометров. На основании этих измерений были составлены первые таблицы звёздных величин. Позже, с появлением фотографии в XX веке, изофоты стали применяться при анализе фотографий, полученных с помощью телескопов и фотометров, что привело к созданию фотометрической системы звёздных величин, а с изобретением электрофотометрических методов точность фотометрических измерений существенно возросла. Развитие физики твёрдого тела и полупроводников привело к созданию твердотельных фотоприёмников и приборов с зарядовой связью (ПЗС-матриц), что вытеснило электровакуумные приборы из практической астрономии. Построение изофот стало осуществляться при помощи компьютерной техники.

В системах автоматизированного проектирования изофоты используются для оптического контроля гладкости стыковки поверхностей. Для поверхности (заданной неявно или параметрически), дифференцируемой достаточное количество раз, вектор нормали зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность имеют на 1 меньший порядок, чем сама поверхность. Если в точке поверхности непрерывными являются только касательные плоскости (гладкость порядка 1), то изофоты обладают изломами (гладкость только нулевого порядка).

В следующем примере две пересекающиеся поверхности Безье закрыты участком третьей поверхности. На рисунке 4 слева закрывающая поверхность касается поверхностей Безье с порядком гладкости 1, на рисунке справа — с порядком гладкости 2. Исследование геометрической непрерывности изофот показывает, что на рисунке 4 слева изофоты имеют изломы (гладкость порядка 0), а на рисунке справа изофоты выглядят гладкими (гладкость порядка 1).

В архитектуре важной задачей является построение линий равной освещённости архитектурных форм и объектов, что привело к появлению классификации градаций освещённости — свет, полутон, полутень, собственная тень, рефлекс и падающая тень. В архитектуре изофотами (или линиями равной освещённости) называют линии, на которых лучи света падают под одинаковыми углами. Другими словами, такие изофоты проходят через точки поверхности, нормали к которым расположены под одинаковыми углами к направлению распространения световых лучей. С их помощью разделяют тональные зоны на поверхностях архитектурных объектов и строят тоновые изображения этих объектов на чертежах и эскизах. На рисунке 5 показано распределение изофот на двух видах часто встречающихся в архитектуре поверхностей — выпуклой и вогнутой.

Если освещённость поверхности создаётся пучком параллельных лучей света, а яркость ${\displaystyle b}$ выражается скалярным произведением:

${\displaystyle b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi \ }$,

где ${\displaystyle {\vec {n}}(P)}$ представляет собой единичный вектор, нормальный к поверхности в точке ${\displaystyle P}$, а вектор ${\displaystyle {\vec {v}}}$ является единичным вектором в направлении распространения света. В случае ${\displaystyle b(P)=0}$, когда свет перпендикулярен к нормали к поверхности, точка ${\displaystyle P}$ является точкой на силуэте поверхности в направлении ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Яркость 1 означает, что луч света перпендикулярен поверхности. На плоскости в рамках предположения о параллельности пучка лучей изофоты будут отсутствовать.

Для неявно заданной поверхности с уравнением ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ изофоты удовлетворяют равенству

${\displaystyle {\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .}$

Это означает: точки на изофоте с заданным параметром ${\displaystyle c}$ представляют собой решение нелинейной системы

• ${\displaystyle \ f(x,y,z)=0,\qquad \nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|=0\ ,}$

которую можно рассматривать как линию пересечения двух неявно заданных поверхностей. Используя алгоритм, представленный Bajaj и др. (см. ссылки), можно вычислить многоугольник из точек изофот.

В случае, когда поверхность задана параметрически, то есть ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)}$, уравнение для изофот имеет вид:

${\displaystyle {\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ ,}$

что эквивалентно выражению

• ${\displaystyle \ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .}$

Данное уравнение описывает неявно заданную кривую в плоскости s-t, которую можно представить с помощью подходящего алгоритма и преобразовать с помощью ${\displaystyle {\vec {S}}(s,t)}$ в точки на поверхности.