Закон смещения Вина

Закон выражается формулой

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}=b/T,}$

где ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а ${\displaystyle T}$ — температура. Коэффициент ${\displaystyle b={\frac {ch}{k\alpha }}}$ (где c — скорость света в вакууме, h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, α ≈ 4,965114… — постоянная величина, корень уравнения ${\displaystyle \alpha /5=1-e^{-\alpha }}$), называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света ${\displaystyle \nu }$ (в герцах) закон смещения Вина имеет вид

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\alpha }{h}}kT\approx 5{,}879\times 10^{10}\cdot T,}$

где α ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения ${\displaystyle \alpha /3=1-e^{-\alpha }}$), k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — температура (в кельвинах).

Различие численных постоянных здесь обусловлено различием между показателями степени в планковском распределении, записанном для длины волны и частоты излучения: в одном случае входит ${\displaystyle \lambda ^{-5}}$, в другом — ${\displaystyle \omega ^{3}\sim \lambda ^{-3}}$. Это различие, в свою очередь, возникает из-за нелинейности связи между частотой и длиной волны:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }},\quad {\frac {d}{d\omega }}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2\pi c}}{\frac {d}{d\lambda }}.}$

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для испускательной способности ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)}$ абсолютно чёрного тела, записанное для длин волн:

${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}.}$

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по ${\displaystyle \lambda }$ и приравнять производную нулю:

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}\left({\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5\right)=0.}$

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ или когда ${\displaystyle e^{hc/\lambda kT}\to \infty }$, что выполняется при ${\displaystyle \lambda \to 0}$. Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка ${\displaystyle B(\lambda )}$, которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

${\displaystyle {\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5=0.}$

Используя замену переменных ${\displaystyle x={\frac {hc}{kT\lambda }}}$, данное уравнение можно преобразовать к виду

${\displaystyle {\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0.}$

Численное решение этого уравнения даёт:

${\displaystyle x=4{,}965114231744276\ldots }$

${\displaystyle \mathrm {N} \!\!\mathrm {B} !}$ Решение уравнения ${\displaystyle {\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}=n}$ невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{x}}{\frac {1}{kT}}={\frac {2{,}89776829\ldots \times 10^{-3}}{T}},}$

где температура дана в кельвинах, а ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$ — в метрах.

Согласно закону смещения Вина, чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.